「田井塾」：江戸川のほとりにて－祈りの心(23-1)

＊＊＊＊＊「田井塾」：江戸川のほとりにて－「祈りの心」（２３－１)－＊＊＊＊＊
　　

・・・・・　序　奏　・・・・・

　　●「アラベスク第１番」●
　・・・ドビュッシー・・・

　●江戸川のほとりにて－詳説「時空間論」（２３－１）－●
　
　２３：変分原理（１）

　＜大切な用語＞
　変分原理、ラグランジュ密度、測定法、不確定性、変換、座標変換、非線形変換、不変量、アフィン接続、接続係数、スカラー、ラグランジュ方程式、スカラーΔ密度、ビアンキの恒等式、
　
　「要　約」
　実在世界の適切なモデルを構築するために使われる理想的な測定法の性質を記述する場合、この性質にある程度の不確定性が含まれている。これはスケールそれ自体を変化させることによって直接測定することに原理的に限界があること、それからある種の非線形変換の精度だけで接続対象の型を決定することにも限界があることに原因がある。
　ここで、前者の「スケールそれ自体の変化によって直接測定すること」を「消極的な変換」、後者の「非線形変換の精度だけで接続対象の型を決定すること」を「積極的な変換」とすると、この「積極的な変換」は視点の「消極的な変換」である座標変換を積極的な形にしたものと言える。実は、これらの変換における不変量はすべてに許容される観測者にとって同じ性質の相対的変化を表わしているにすぎない。このことから、アフィン接続空間における接続を「積極的に変換」すると、結果として任意のスカラーの接続係数が発生し、この時の係数の変分的変化を公式化することによって与えられるのが変分原理なのである。
　見方を変えよう。このスカラーに注目すると、これは場合によって性質が一般的であったり特殊であったりしている。これにしたがって、ラグランジュ方程式もそれぞれの性質を持ち、恒等式もそれぞれの性質に応じた構造をしている。そして、ここである。たとえば、４つのスカラーΔ密度の式であれば、アフィン接続空間にとって最大限に一般的であり、したがって、これらのラグランジュ方程式はアフィン接続空間に対してビアンキの恒等式の関係が成り立っていると言える。
　つまり、変分原理は、ラグランジュ方程式とビアンキの恒等式を土台にひじょうに一般的な方法論的な原理を導き、これを数学的に公式化したもので、一般にいかなる現象の記述に対しても応用することが出来る。なお、記述にさいしては、不変量が最少で、最大限に対称的で、しかも視点が最大限に広い状態で定常的であるように記述するのが理想的である。
　
　「本文訳」
　私達の実在世界のモデルではどのような理由で変分原理が現れ、またこの原理はなぜ数学的にラグランジュ密度を選ばざるをえないような組み立てになっているのでしょうか。
　実在世界の適切なモデルを構築し得る理想的な測定法の性質を記述するさいに、この性質にある程度の不確定性が含まれねばならないことが明らかになっています。この不確定性はスケールそれ自体を変化させることによって直接測定することに原理的に限界があるために発生し、またある種の非線形変換の精度だけで接続対象の型を決定しようとすることに原因があります。この後者の変換は視点の消極的な変化である座標変換を積極的な形にしたものです。たとえば、不変量はすべての許容される観測者（理論的に存在可能な観測者も含めて）にとって同じでなければなりません。これと同様に、許容される総体の中からアフィン接続の具体的な対象の型を任意に選んでも同じでなければなりません。したがって、これら２つの消極的な変換と積極的な変換はスケールの同じ性質の相対的な変化を表わしているにすぎないことが分かります。こうして、アフィン接続空間の接続によって発生する任意のスカラーに対して接続係数が変分的に変化する現象を変分原理として公式化することが出来るわけです。
　実は、このスカラーの重要性、つまり、スカラーの「一般性」とか「特殊性」にしたがって、相応のラグランジュ方程式は「一般的」な性質を持ったり「特殊」な性質を持ったりしますが、しかし恒等式的にはそれぞれの性質にしたがった構造をしています。言い換えると、「７：アフィン接続係数（４）」で紹介した４つのスカラーΔ密度の式（ℒ、Ｓ(~)、ℒ(~),ℒ’）はアフィン接続空間にとって最大限に一般的なものであり、したがって、これらのラグランジュ方程式はこの空間に対して成立つビアンキの恒等式なのです。
　本質的に言うと、変分原理はひじように一般的な方法論的な原理を数学的に公式化したものなのです。実は、私達は初めの段階ではこの原理を公式化してはいませんが、暗黙のうちにこれにしたがって議論しています。この原理はいかなる現象の記述に対しても応用出来るのです。つまり

　●１つ以上視点を許容している記述はすべて不変で定常な構造も、また最後まで決定し得ない成分も含んでいます。記述のポイントは視点をあまり変化させない消極的な変化から記述している系の性質そのものを反映している成分を積極的に変える変化に移すことが出来ます。ポイントを変化させても、記述の大切な特徴である構造の成分は視点を変える場合と同様に不変です。
　
　記述するさいに定常で不確定な（一義的に固定されない）成分を選択することはそれ自体に問題があります。２つのタイプの対称性を議論する過程で、多くの不変量はより詳細に考察すれば結局は絶対的でなく、相対的であることが分かりました。この意味で、不変量が最少で、（第一型の対称性の意味で）最大限に対称的であって、しかも視点が最大限に広い状態で定常的であるような記述が一番理想的だと言えます。
　
・・・・・●●●●●今日も１日感謝の心で●●●●●・・・・・