「田井塾」：江戸川のほとりにて－祈りの心(65-3)

＊＊＊＊＊「田井塾」：江戸川のほとりにて－「祈りの心」（６５－３)－＊＊＊＊＊
　　

・・・・・　序　奏　・・・・・

　　●「アラベスク第１番」●
　・・・ドビュッシー・・・


　●江戸川のほとりにて－詳説「時空間論」（６５－３）－●
　
　６５：状態空間にける内部群（３）－

　＜大切な用語＞
　ファイバー空間、接続、状態ベクトル、基準点、生成元、完備基準点、単位行列、ユニタリー変換、正規化（ノルム化）因子、構造定数、テンソル．
　　
　「要　約」
　ファイバー空間における群ＳＵ（４）の生成元Γを記述すると下記本文訳中の組（１）で与えられる。ここでは生成元は行列Γ[a]＝Γ<i>[ja]，ａ＝１，２，３．．．，１５の形で記述されているが、ただし、この組が完備基準点になるように単位行列Ｉ＝δ<i>[j]をΓ[0]として導入している。
　これらの行列の構造は、Γ[8]，Γ[15]，Γ[0]以外は二次元のユニタリー変換になっているので、明白である。これらの基本的な二次元の変換は線形的に独立し、恒等変換の演算子Γ[0]はこれらの生成元と明らかに可換になっている。なお、Γ[8]とΓ[15]の行列がこのような形に選択された理由については後で議論したい。
　ところで、基準点のすべての行列に対して一般的な正規化因子Ｎ[Γ]＝１／４を導入すると、生成元の基準点の構造定数のテンソルＣ<d>[ab]は同（２）式によって求められる。なお、この構造定数のテンソルは次回求めたい。

　「本文訳」
　次に、ファイバー空間において群ＳＵ（４）を区別する時、接続と状態ベクトルを分類する際に役立つ基準点について議論しましょう。群ＳＵ（４）の生成元Γを記述すると次のようになります。すなわち、
　まず、Γ[1]＝（ａｂｃｄ），Γ[2]＝（ｅｆｇｈ）．
　ここで、ａは行列の１行目の組（０１００），ｂは２行目の組（１０００），ｃは３行目の組（００００），ｄは４行目の組（００００）を意味しています。同様にして、ｅは（０－ｉ００），ｆは（ｉ０００），ｇは（００００），ｈは（００００）を意味しています。
　次に、Γ[3]＝（ａｂｃｄ），Γ[4]＝（ｅｆｇｈ）．
　同様に、ａ＝（１０００），ｂ＝（０－１００），ｃ＝（００００），ｄ＝（００００），ｅ＝（００１０），ｆ＝（００００），ｇ＝（１０００），ｈ＝（００００）．
　次に、Γ[5]＝（ａｂｃｄ），Γ[6]＝（ｅｆｇｈ）．
　同様に、ａ＝（００－ｉ０），ｂ＝（００００），ｃ＝（ｉ０００），ｄ＝（００００），ｅ＝（００００），ｆ＝（００１０），ｇ＝（０１００），ｇ＝（００００）．
　Γ[7]＝（ａｂｃｄ），Γ[8]＝（ｅｆｇｈ）（１／３<1/2>）．
　同様に、ａ＝（００００），ｂ＝（００－ｉ０），ｃ＝（０ｉ００），ｄ＝（００００），ｅ＝（１０００），ｆ＝（０１００），ｇ＝（００－２０），ｈ＝（００００）．
　Γ[9]＝（ａｂｃｄ），Γ[10]＝（ｅｆｇｈ）．
　同様に、ａ＝（０００－ｉ），ｂ＝（００００），ｃ＝（００００），ｄ＝（ｉ０００），ｅ＝（００００），ｆ＝（０００１），ｇ＝（００００），ｈ＝（０１００）．
　Γ[11]＝（ａｂｃｄ），Γ[12]＝（ｅｆｇｈ）．
同様に、ａ＝（００００），ｂ＝（００００），ｃ＝（０００１），　ｄ＝（００１０），　ｅ＝（００００），ｆ＝（０００－ｉ），ｇ＝（００００），ｈ＝（０ｉ００）．
　Γ[13]＝（ａｂｃｄ），Γ[14]＝（ｅｆｇｈ）．
　同様に、ａ＝（００００），ｂ＝（００００），ｃ＝（０００－ｉ），ｄ＝（００ｉ０），　ｅ＝（０００１），ｆ＝（００００），ｇ＝（００００），ｈ＝（１０００）．
　Γ[15]＝（ａｂｃｄ）（１／６<1/2>），Γ[0]＝（ｅｆｇｈ）．
　同様に、ａ＝（１０００），ｂ＝（０１００），ｃ＝（００１０），ｄ＝（０００－
３），ｅ＝（１０００），ｆ＝（０１００），ｇ＝（００１０），ｈ＝（０００１）．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（１）

　このように、私たちは群ＳＵ（４）の生成元を行列Γ[a]＝Γ<i>[ja]，ａ＝１，２，３，．．．，１５の形で記述しました。ただし、私たちの組が完備基準点になるように単位行列Ｉ＝δ<i>[j]をΓ[0]として付け加えています。
　これらの行列の構造はひじょうに明白です。これらはΓ[8]、Γ[15]、Γ[0]以外はすべて基本的な二次元のユニタリー変換になっているからです。これらの基本的な二次元の変換は線形的に独立しています。恒等変換の演算子Γ[0]は上記（１）中のその他の生成元と明らかに可換になっています。Γ[8]とΓ[15]の行列がこのような形で選択された理由については後で説明しましょう。
　なお、基準点のすべての行列に対して一般的な正規化因子Ｎ[Γ]＝１／４を導入しましょう。ｋ[aa]＝２（ただし、ノルム化した後はｋ[aa]＝１／８）のとき、Sp（Γ[a]Γ[b]）＝ｋ[aa]δ[ab]なので、生成元の基準点の構造定数のテンソルは次の関係式を使って計算することが出来ます。すなわち、
　Ｃ<d>[ab]＝Sp（［Γ[a]，Γ[b]］Γ[d]）／｛ｉSp（Γ[d]Γ[d]）｝．・・・（２）
　それでは、正規化因子を考慮してゼロではない構造定数を求めることにしましょう。

・・・・・●●●●●今日も１日感謝の心で●●●●●・・・・・