「田井塾」：江戸川のほとりにて－祈りの心(29-3)

＊＊＊＊＊「田井塾」：江戸川のほとりにて－「祈りの心」（２９－３)－＊＊＊＊＊
　　

・・・・・　序　奏　・・・・・

　　●「アラベスク第１番」●
　・・・ドビュッシー・・・

　●江戸川のほとりにて－詳説「時空間論」（２９－３）－●
　
　２９：古典的計量とエネルギー・運動量（３）

　＜大切な用語＞
　古典的計量、質量、スケール、座標系、エネルギー・運動量、複体、テンソル、テンソル密度、作用量、計量座標系、共変テンソル、エネルギー・運動量テンソル、トートロジー、接線ベクトル、特異分布．
　
　「要　約」
　古典的計量によって質量としてのスケールの値が決定され、また座標系がスケールの軌道上だけでなく、スケールの周りの領域においても決定される。これによって、エネルギー・運動量の新しい複体としてテンソル密度が形成される。このテンソルは領域に分布している作用量を古典的計量で微分した複体として構築されている。これは運動が計量座標系に対して相対的になっているためである。なお、テンソルは共変テンソルで、添え字が２つになっている。
　質量ｍ[0]の単一の孤立した古典的粒子の場合、エネルギー・運動量テンソルの式は下記本文訳中の（１）式で表わされる。なお、単一の古典的スケールの場合、エネルギー・運動量はスケールの軌道に集中しているので、作用量密度を領域で積分する時は、この領域に含まれる軌道で作用量を積分することになる。
　ところで、同（１）式について説明すると、１行目はトートロジー的に同値な関係にあり、根号内の式は古典的粒子の軌道においてはつねに１に等しい。この式をあえて記述するのは、４行目に接線ベクトルの積が現れる理由を明らかにするためである。次に２行目であるが、これによってテンソル密度が容易に決定される。これで４次元の領域に存在する単一の古典的粒子の作用量が積分で正確に求められる。さいごの４行目であるが、ここから古典的粒子のエネルギー・運動量テンソルＴ<ik>が同（２）式で与えられることが分かる。
　
　「本文訳」
　古典的計量が存在すると、質量としてのスケールの値は理論なしで決定され、また座標系はスケールの軌道上においてのみならず、まずスケールの周りの領域においても決定されます。したがって、エネルギー・運動量の新しい複体、つまり、（相対的）テンソル、より正確に言うと、テンソル密度が発生します。このテンソルはここでは軌道に集中している作用量を座標で微分した複体としてではなく、領域に分布している作用量を古典的計量で微分した複体として構築されています。このような置き換えは、運動が計量座標系に対して相対的になっているためです。このテンソルは共変テンソルですが、添え字は１つではなく、２つになっています。
　質量ｍ[0]を持った単一の孤立した古典的粒子の場合、エネルギー・運動量テンソルの式は次のようにして容易に求められます。単一の古典的スケールの場合、エネルギー・運動量はスケールの軌道に集中しているので、作用量密度の領域に関する積分は必然的にこの領域に含まれる軌道で作用量を積分することに帰着します。
　したがって、
　ｓ[0]＝ｍ[0]∫ｄℓ＝ｍ[0]∫｛－ｇ[ik]（ｄｘ<i>／ｄℓ）（ｄｘ<k>／ｄℓ）｝<1/2>ｄℓ
　　＝－ｉ∫ζｄ<4>ｘ＝－ｉ∫ｇ[ik]ζ<ik>ｄ<4>ｘ
　　＝－ｉ∫ℊｇ[ik]Ｔ<ik>ｄ<4>ｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（１）
　　＝ｉ∫ℊｇ[ik]ｍ[0]δ<3>（ｘ<α>）（ｄｘ<i>／ｄℓ）（ｄｘ<k>／ｄℓ）ｄ<4>ｘ．
　上記（１）式の１行目はトートロジーな関係にあり、したがって、平方根で記述された式は古典的粒子の軌道上ではつねに１に等しいです。この式を記述することは、上記４行目の式に接線ベクトルの積が現れる理由を明らかにするために必要なのです。　
　次に２行目ですが、これによってテンソル密度が容易に決定されます。つまり、これで、４次元の領域に存在する単一の古典的粒子の作用量が積分で正確に求められ、またこのテンソル密度を古典的計量に関して分解して記述することが可能となります。
　さいごの４行目ですが、これから、このような積分では特異分布の積分だけが決定されること、区間ｄℓにおける被積分式の最初の分布に必要な分布式が記述されていることが分かります。本質的には、私たちはここで次の古典的粒子のエネルギー・運動量テンソルの式が与えられています。すなわち、
　Ｔ<ik>＝－ｍ[0]δ<3>（ｘ<α>）（ｄｘ<i>／ｄℓ）（ｄｘ<k>／ｄℓ）．・・・（２）
　
・・・・・●●●●●今日も１日感謝の心で●●●●●・・・・・