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科学啓蒙作家の塾「田井塾」
「田井塾」：江戸川のほとりにて－祈りの心（15-2）2022年11月28日
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊ 「田井塾」：江戸川のほとりにて－「祈りの心」(１３－５)－＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
☆この世に存する限り、人は人としてプロである。人は勉強を手段に己の心に「泉」を見出し、いつしかそこに「美」の映えるを知る。これをして彼方に「像」を予感し、それを求めて今を生きる。－田井－
・・・・・ 序 奏 ・・・・・
●「アラベスク第１番」●
・・・ドビュッシー・・・
●江戸川のほとりにて－詳説「時空間論」（１５－２）－●
１５：正規計量とローレンツ群（２）
＜大切な用語＞
部分空間、計量テンソル、共変的、正規計量テンソル、スカラー積、ノルム、正規スカラー・パラメーター、
「要 約」
理想的な測定法の場合、スケールは一定の部分空間にしか存在していない。そして、この部分空間においては計量テンソルの内、完備テンソルｒ(-)[ik]の成分である正規計量テンソルＮ(-)[ik]が共変的に一定になっている。
ここで、無限小変位ベクトルｄｘ<i>，ｄｘ<k>、および正規計量テンソルＮ(-)[ik]を使うと、ノルムの２乗δｓ(-)<2>として次式が与えられる。すなわち、
δｓ(-)<2>＝Ｎ(-)[ik]ｄｘ<i>ｄｘ<k>．
そして、この式から次の結論が導かれる。１つは、無限小変位によってδｓ(-)<2>がゼロより大きくなったり、小さくなったりするということは、それがゼロになることがあるということであって、このような方向は等方的と呼ばれ、計量の符号は不確定になっているということ、２つめはすべての方向に対してδｓ(-)<2>がゼロより大である場合、ある一定の計量がプラスになっているということである。
なお、スケールのノルムの２乗の符号は与えられたスケールの方向でのノルムの２乗の符号と一致している点に注意されたい。つまり、計量の符号がプラス、マイナス一定の場合にしたがって、曲線がある点で同等の立場で出入りするように描かれている。
次に、理想的な測定法と完全には理想的でない測定法によってどのような計量が形成されるか整理して置きたい。局所的に測地線的になっている座標系ではベクトルは次のように表される。すなわち、
ｄｘ<i>／ｄｓ(-)＝ｅ<i>[i<*>]＝｛０，０，．．．，０，１［ｘ<i*>］，０，０，．．．｝．
ただし、私達が選んだスケールはｉ<*>番目の１の成分で表わされている。また、このベクトルはベクトルが存在している曲線に対して接線を成しているが、ｉ≠ｉ<*>の場合とｉ＝ｉ<*>の場合とで描かれ方が異なっている。
もう一度確認すると、ここで問題にしているスケールは、スケールが存在している点においてノルムが１になっている。これを式で表わすと次のようになる。
ｅ<2>[i*]＝Ｎ(-)[ik]ｅ<i>[i*]ｅ<k>[i*]＝Ｎ(-)[ik]（ｄｘ<i>／ｄｓ(-)）（ｄｘ<k>／ｄｓ(-)）＝１．
なお、ｉ＝ｉ<*>の場合は与式より次式が導かれる。
Ｎ(-)[i*i*]＝１[ｘ<i*>]<-2>．
「原文訳」
理想的な測定法の場合、スケールは一定の部分空間にしか存在していませんので、計量テンソルもこの部分空間においてのみ共変的に一定になっています。より正確に言うと、共変的に一定であるのは完備テンソルｒ(-)[ik]ではなく、その成分であるＮ(-)[ik]です。私達はこの成分を正規計量テンソルと今後呼びたいと思います。
私達はスカラー積を求めることによって、与えられた地点のすべての方向に一定の不変な記号を付与することが出来ます。これを実際に行ってみましょう。
まず変位の成分を連続的に変化させます。与えられた地点での正規計量テンソルの値は、変位成分の関数として変化するノルムの２乗、つまり、二次形式をした一定の係数を成しています。したがって、ノルムの２乗の値は方向に関する連続関数と言えます。
ここでｄｘ<i>が無限小変位で、そのノルムの２乗がゼロより大きく、また別の変位の場合にゼロより小さいとすると、２乗した値がゼロになる方向が存在することになります。このような方向は等方的と呼ばれ、計量の符号は不確定になっています。またすべての方向に対してδｓ(-)<2>＞０である場合、ある一定の計量がプラスだと言えます。ただし、ある計量がマイナスである場合とある計量がプラスである場合の違いは、後述のように現象の方向が反対になっていることにあります。
ここで注意していただきたいのですが、スケールのノルムの２乗の符号は、与えられたスケールの方向でのδｓ(-)<2>の符号と一致しています。したがって、計量の符号がプラス、マイナスそれぞれで一定の場合にしたがって、曲線がある点で同等の立場で出たり入ったりするように描かれています。計量の符号が一定していない場合、曲線は３つのグループに分かれています。
それでは、私達の実在世界のモデルでは理想的な測定法と完全には理想的ではない測定法によってどのような計量が形成されるか議論しましょう。局所的に測地線的（外部接続の対称成分が軌道上でゼロ）になっている座標系、つまり与えられた対象がｉ<*>の自然なスケールで示されている座標系では（ｉ<*>は固定された添字です）、ベクトルは次のように表示されます。すなわち、
ｄｘ<i>／ｄｓ＝ｅ<i>[i<*>]＝｛０，０，０，．．．，１［ｘ<i*>］，０，．．．，０｝．
ただし、私達が選んだスケールはｉ<*>番目の１の成分で表わされています。
なお、このベクトルはベクトルが存在している曲線に対して接線を成しています（つまり、この曲線上においてベクトルは一定になっています）。それから、この曲線はｉ≠ｉ<*>の時は与えられた座標系のｘ<i>＝０の直線的座標線によって描かれ、またｉ＝ｉ<*>の時は対象が存在する曲線上で正規スカラー・パラメーターｓ(-)を持つ式ｘ<i*>＝ｓ(-)×１［ｘ<i*>］によって描かれています。
ここで問題にしているスケールは、スケールが存在しているそれぞれの点で１のノルムを持っています。すなわち、
ｅ<2>[i*]＝Ｎ(-)[ik]ｅ<i>[i*]ｅ<k>[i*]＝Ｎ(-)[ik]（ｄｘ<i>／ｄｓ(-)）（ｄｘ<k>／ｄｓ(-)）＝１．
したがって、これより、
Ｎ(-)[i*i*]＝１［ｘ<i*>］<-2>．
また、ここで考察している座標系においては（Ｄ／ｄｓ(-)）（ｄｘ<i>／ｄｓ(-)）＝（ｄ<2>ｘ<i>／ｄｓ(-)<2>）＝０が明らかに成り立ち、正規スカラー・パラメーターは実際に標準的で、問題にしているスケールと正確に一致しています。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・●●●●●今日も１日感謝の心で●●●●●・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
☆この世に存する限り、人は人としてプロである。人は勉強を手段に己の心に「泉」を見出し、いつしかそこに「美」の映えるを知る。これをして彼方に「像」を予感し、それを求めて今を生きる。－田井－
・・・・・ 序 奏 ・・・・・
●「アラベスク第１番」●
・・・ドビュッシー・・・
●江戸川のほとりにて－詳説「時空間論」（１５－２）－●
１５：正規計量とローレンツ群（２）
＜大切な用語＞
部分空間、計量テンソル、共変的、正規計量テンソル、スカラー積、ノルム、正規スカラー・パラメーター、
「要 約」
理想的な測定法の場合、スケールは一定の部分空間にしか存在していない。そして、この部分空間においては計量テンソルの内、完備テンソルｒ(-)[ik]の成分である正規計量テンソルＮ(-)[ik]が共変的に一定になっている。
ここで、無限小変位ベクトルｄｘ<i>，ｄｘ<k>、および正規計量テンソルＮ(-)[ik]を使うと、ノルムの２乗δｓ(-)<2>として次式が与えられる。すなわち、
δｓ(-)<2>＝Ｎ(-)[ik]ｄｘ<i>ｄｘ<k>．
そして、この式から次の結論が導かれる。１つは、無限小変位によってδｓ(-)<2>がゼロより大きくなったり、小さくなったりするということは、それがゼロになることがあるということであって、このような方向は等方的と呼ばれ、計量の符号は不確定になっているということ、２つめはすべての方向に対してδｓ(-)<2>がゼロより大である場合、ある一定の計量がプラスになっているということである。
なお、スケールのノルムの２乗の符号は与えられたスケールの方向でのノルムの２乗の符号と一致している点に注意されたい。つまり、計量の符号がプラス、マイナス一定の場合にしたがって、曲線がある点で同等の立場で出入りするように描かれている。
次に、理想的な測定法と完全には理想的でない測定法によってどのような計量が形成されるか整理して置きたい。局所的に測地線的になっている座標系ではベクトルは次のように表される。すなわち、
ｄｘ<i>／ｄｓ(-)＝ｅ<i>[i<*>]＝｛０，０，．．．，０，１［ｘ<i*>］，０，０，．．．｝．
ただし、私達が選んだスケールはｉ<*>番目の１の成分で表わされている。また、このベクトルはベクトルが存在している曲線に対して接線を成しているが、ｉ≠ｉ<*>の場合とｉ＝ｉ<*>の場合とで描かれ方が異なっている。
もう一度確認すると、ここで問題にしているスケールは、スケールが存在している点においてノルムが１になっている。これを式で表わすと次のようになる。
ｅ<2>[i*]＝Ｎ(-)[ik]ｅ<i>[i*]ｅ<k>[i*]＝Ｎ(-)[ik]（ｄｘ<i>／ｄｓ(-)）（ｄｘ<k>／ｄｓ(-)）＝１．
なお、ｉ＝ｉ<*>の場合は与式より次式が導かれる。
Ｎ(-)[i*i*]＝１[ｘ<i*>]<-2>．
「原文訳」
理想的な測定法の場合、スケールは一定の部分空間にしか存在していませんので、計量テンソルもこの部分空間においてのみ共変的に一定になっています。より正確に言うと、共変的に一定であるのは完備テンソルｒ(-)[ik]ではなく、その成分であるＮ(-)[ik]です。私達はこの成分を正規計量テンソルと今後呼びたいと思います。
私達はスカラー積を求めることによって、与えられた地点のすべての方向に一定の不変な記号を付与することが出来ます。これを実際に行ってみましょう。
まず変位の成分を連続的に変化させます。与えられた地点での正規計量テンソルの値は、変位成分の関数として変化するノルムの２乗、つまり、二次形式をした一定の係数を成しています。したがって、ノルムの２乗の値は方向に関する連続関数と言えます。
ここでｄｘ<i>が無限小変位で、そのノルムの２乗がゼロより大きく、また別の変位の場合にゼロより小さいとすると、２乗した値がゼロになる方向が存在することになります。このような方向は等方的と呼ばれ、計量の符号は不確定になっています。またすべての方向に対してδｓ(-)<2>＞０である場合、ある一定の計量がプラスだと言えます。ただし、ある計量がマイナスである場合とある計量がプラスである場合の違いは、後述のように現象の方向が反対になっていることにあります。
ここで注意していただきたいのですが、スケールのノルムの２乗の符号は、与えられたスケールの方向でのδｓ(-)<2>の符号と一致しています。したがって、計量の符号がプラス、マイナスそれぞれで一定の場合にしたがって、曲線がある点で同等の立場で出たり入ったりするように描かれています。計量の符号が一定していない場合、曲線は３つのグループに分かれています。
それでは、私達の実在世界のモデルでは理想的な測定法と完全には理想的ではない測定法によってどのような計量が形成されるか議論しましょう。局所的に測地線的（外部接続の対称成分が軌道上でゼロ）になっている座標系、つまり与えられた対象がｉ<*>の自然なスケールで示されている座標系では（ｉ<*>は固定された添字です）、ベクトルは次のように表示されます。すなわち、
ｄｘ<i>／ｄｓ＝ｅ<i>[i<*>]＝｛０，０，０，．．．，１［ｘ<i*>］，０，．．．，０｝．
ただし、私達が選んだスケールはｉ<*>番目の１の成分で表わされています。
なお、このベクトルはベクトルが存在している曲線に対して接線を成しています（つまり、この曲線上においてベクトルは一定になっています）。それから、この曲線はｉ≠ｉ<*>の時は与えられた座標系のｘ<i>＝０の直線的座標線によって描かれ、またｉ＝ｉ<*>の時は対象が存在する曲線上で正規スカラー・パラメーターｓ(-)を持つ式ｘ<i*>＝ｓ(-)×１［ｘ<i*>］によって描かれています。
ここで問題にしているスケールは、スケールが存在しているそれぞれの点で１のノルムを持っています。すなわち、
ｅ<2>[i*]＝Ｎ(-)[ik]ｅ<i>[i*]ｅ<k>[i*]＝Ｎ(-)[ik]（ｄｘ<i>／ｄｓ(-)）（ｄｘ<k>／ｄｓ(-)）＝１．
したがって、これより、
Ｎ(-)[i*i*]＝１［ｘ<i*>］<-2>．
また、ここで考察している座標系においては（Ｄ／ｄｓ(-)）（ｄｘ<i>／ｄｓ(-)）＝（ｄ<2>ｘ<i>／ｄｓ(-)<2>）＝０が明らかに成り立ち、正規スカラー・パラメーターは実際に標準的で、問題にしているスケールと正確に一致しています。
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