「田井塾」：江戸川のほとりにて－祈りの心(70-8)

＊＊＊＊＊「田井塾」：江戸川のほとりにて－「祈りの心」（７０－８)－＊＊＊＊＊
　　
　謹賀新年・・・本年もどうぞよろしくお願い申し上げます

・・・・・　序　奏　・・・・・

　　●「アラベスク第１番」●
　・・・ドビュッシー・・・

　●江戸川のほとりにて－詳説「時空間論」（７０－８）－●
　
　７０：完備ポアンカレ群の表示（８）－

　＜大切な用語＞
　エネルギー・運動量の演算子、状態ベクトル、カイラル基準点、ブロック、カシミール演算子、行列、単位行列、時空間、自由度、既約表示、固有ベクトル、固有値、慣性測定法群、方向、配向、完備ローレンツ群、スピン、可換．

　「要　約」
　エネルギー・運動量の演算子は状態ベクトルが右方向成分と左方向成分に分割することと関連している。そして、これらの成分がカイラル基準点の個々のブロックに集められているため、私たちはこの基準点を記述に利用している。
　カシミール演算子の行列は、下記本文訳中の（１）式から明らかなように単位行列に比例している。またこの関係式から、時空間における並進やずれのような自由度と関連する状態ベクトルの既約表示の特徴を決定するためのカギとしてこの演算子が選ばれる可能性があることが分かる。
　同（１）式の演算子は４×４の行列式であり、この行列の固有ベクトルΨは固有値をλとする同（２）式の解として与えられる。なお、ここで導かれる解の成分は同（３）式で与えられる。局所的な慣性測定法群が完全に確定している場合、λの値への補足として、区別出来る４つの表示がさらに発生するが、これは測定法に対して空間的自由度が付加されるからである。
　すでに議論したことであるが、この自由度はスピンと配向という２つの特性が関連している。ここでさらに、ずれと関連した特性と既約表示を完全に記述出来る特性を導入すべきかどうか、という重要な問題があるが、とは言え、実はこれはこれまで述べた特性を列挙するだけで解決する。
　ここで、同（２）式が時間に関する２次の導関数であることに注意すると、ディラックの線形の方程式の解を使うことによって、同（４），（５）式を具体的に導くことが出来る。

　「本文訳」
　ここで強調しなければならないことがあります。それは、エネルギー・運動量の演算子は状態ベクトルが（完備状態ベクトル、つまり４×４行列の）右方向成分と左方向成分に分割することと直接関係しているということです。正に、これらの成分がカイラル基準点の個々の明らかなブロックに集められているために、私たちは私たちの記述にこの基準点を利用しているわけです。
　カシミール演算子の行列は次のように明らかに単位行列に比例しています。すなわち、
　ℙ<2>＝（ａ　ｂ）＝Ｉ∇<2>．・・・（１）
　そして、実はこの関係式は、時空間における座標の原点の並進や状態ベクトルの初期位相のずれのような自由度の存在と関連する状態ベクトルの既約表示の特徴を決定するためのカギとしてこの演算子が選ばれる可能性があることを示しています。なお、ここで、上記（１）式中のａは２行２列の行列式の１行目の元で、ａ＝（ＰＰ<†>　０）、ｂは２行目の元で、ｂ＝（０　Ｐ<†>Ｐ）を意味しています。
　この演算子は４×４の行列なので、この行列の固有ベクトルΨは次の方程式の解として与えられ、
　ℙ<2>Ψ＝λΨ，・・・（２）
さらに、この解は４つの成分Ψ<i>（ｘ<j>）を持ち、しかも、それぞれの成分は次の方程式を満足しなければなりません。すなわち、
　∇<2>Ψ<i>（ｘ<j>）＝λΨ<i>（ｘ<j>）．・・・（３）
　ここで大切なこととして、同じ固有値λに対するこの方程式の４つの解がカシミール演算子の固有ベクトルにまとめられているということを強調しなければなりません。局所的な慣性測定法群が完全に確定している場合（時間の方向と空間の配向が選択されている場合、つまり、完備ローレンツ群の４つの成分の内の１つが確定している場合）、４つの可能性、つまり、λの値への補足として、区別の出来る４つの表示が発生します。このように増大するのは、許容される測定法に対して空間的自由度が付加されるからです。
　これはすでに議論したことですが、これらの自由度の出現にはスピンと配向という２つの特性が関連しています。しかし、ここでさらに重要な問題が出て来ます。それは、ずれとのみ関連した新しい特性、あるいは、既約表示を完全に記述出来るようなすでに存在している特性を導入すべきかどうかということです。とは言え、この問題に対する答えは１つしかありません。実は、これまでに述べた特性を列挙するだけで十分なのです。
　ここで、上記方程式（２）が時間に関する２次の導関数であることに注意してください。したがって、（ディラックのよく知られた方程式である）線形の方程式の１つの解を使って（この方程式の解の１つを）次のように具体的に表すことが出来ます。
　ℙΨ＝λ<1/2>Ψ，・・・（４）
　あるいは、
　Ψ(-)ℙ<†>＝－λ<1/2>Ψ(-)．・・・（５）
　ただし、演算子ℙとℙ<†>がℙ<2>と可換であることを考慮しています。

・・・・・●●●●●今日も１日感謝の心で●●●●●・・・・・