「田井塾」：江戸川のほとりにて－祈りの心(35-1)

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　人は勉強を手段として己の心の中に「泉」を見出し、いつしかそこに「美」が映えるを知る。人はこれをして彼方に「像」を予感し、それを求めて今を生きる。－田井－
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・・・・・序奏・・・・・

● Richard Clayderman ●・・・「LETTRE A MA MERE（母への手紙）」
　

●江戸川のほとりにて－詳説「時空間論」（３５－１）－●

　３５：電磁場のエネルギー・運動量（１）

　＜大切な用語＞
　電磁場、相対的不変量、密度、古典的計量、エネルギー・運動量、テンソル密度、正則的、トレース、古典的粒子、軌道、重力、変分、接続、特異性、計量接続、固有作用量、計量間隔、リッチ・テンソル．
　　　
　「要　約」
　電磁場の相対的不変量Ｆ(-)は完全に独立した値で、この不変量の密度の古典的計量ｇ<ik>に関する導関数も完全に独立した値になっている。この導関数を計算すると、その結果は下記原文訳中（１）式で与えられる。実は、この式は電磁場のエネルギー・運動量のテンソル密度を表す古典式である同（２）式中の係数ｋ<(em)>を１とした場合と一致している。
　同（１）式で与えられる導関数に対応するテンソルも今後エネルギー・運動量テンソルと呼ぶことになるが、これは次のような重要な性質を持っている。それは、電磁場の強さが正則的である場合、古典的計量におけるテンソルのトレースが恒等的にゼロに等しく、同（３）式Ｔ<(em)>＝Ｔ<(em)>[ik]ｇ<ik>≡０の関係が成り立っているということである。
　これは、電磁場は粒子なしでは事象を形成しないこと、電磁場が領域において作用的に影響を及ぼせるのは古典的粒子の軌道においてのみであって、軌道と軌道の間の空間では作用しないことを意味している。この場合、電磁場のエネルギー・運動量テンソルと場の強さは必ずしもゼロに等しくないが、一定の厳密な構造を持っていなければならない。
　ところで、「重力（３０－２）」において、同下記（４）式を導いた。この式では、古典的粒子の外側での純粋な重力に対するエネルギー・運動量テンソルをゼロに等しいと仮定している。この場合、補助的な構造である古典的計量の変分によって新しい事象の発生が不可能であることがベースになっている。一見、この要請がひじょうに強く、計量にゼロ・トレースを持つエネルギー・運動量テンソルによって強く制限されているように思われるが、実際はそうではない。
　Ｆ(-)[ik]＝０の場合、粒子を取り囲んでいる領域では古典的計量は接続と厳密に一致することが可能である。古典的計量以外には何もなく、すべての特異性は計量接続の構造を持ち、領域のいたる所で固有作用量と計量間隔の間で比例関係が厳密に成り立っている。したがって、作用量がゼロである粒子を取り囲む領域では、リッチ・テンソルが必然的にゼロに収束しなければならない。この時、エネルギー・運動量テンソルもゼロに収束するが、その逆も成り立つ。

　「原文訳」
　電磁場の相対的不変量Ｆ(-)＝Ｆ(-)[ik]Ｆ(-)<ik>は完全に独立した値です。したがって、この不変量の密度の古典的計量に関する導関数も完全に独立した値になっています。そして、この導関数を計算すると次のようになります。
　δ（ɡＦ(-)）／δｇ<ik>
　＝Ｆ(-)[jp]Ｆ(-)<jp>（δ（ɡ）／δｇ<ik>）＋２Ｆ(-)[jp]Ｆ(-)[mn]ɡｇ<jm>（δｇ<pn>／δｇ<ik>）
　＝（－１／２）ɡＦ(-)[jp]Ｆ(-)<jp>ｇ[ik]＋２ɡＦ(-)[ji]Ｆ(-)[mk]ｇ<jm>．・・・（１）
　実は、この導関数は次の電磁場のエネルギー・運動量のテンソル密度に対する古典式でｋ<(em)>＝１の場合と一致しています。すなわち、
　ɡＴ<(em)>[ik]＝ｋ<(em)>２（（－１／４）Ｆ(-)[jp]Ｆ(-)<jp>ｇ[ik]＋Ｆ(-)[ji]Ｆ(-)[mk]ｇ<jm>）ɡ．・・・（２）
　この導関数に対応するテンソルは、これも今後エネルギー・運動量テンソルと呼ぶことになりますが、重要な性質を１つ持っています。それは、電磁場の強さが正則的である場合、古典的計量におけるテンソルのトレースが恒等的にゼロに等しいということです。すなわち、
　Ｔ<(em)>＝Ｔ<(em)>[ik]ｇ<ik>≡０．・・・（３）
　これは、電磁場は粒子なしでは事象を形成しないこと、電磁場が領域において作用的に影響を及ぼせるのは古典的粒子の軌道においてのみであって、軌道と軌道の間の空間では作用しないことを意味しています。なお、この場のエネルギー・運動量テンソルとこの場の強さはこの場合必ずしもゼロに等しくありません。しかし、一定の厳密な構造を持っていなければなりません。
　ところで、「重力（３０－２）」において、次の関係式を導きました。
　ｒ(-)[ik]－（１／２）ｒ(-)ｇ[ik]＝０．・・・（４）
　この式では私たちは、古典的粒子の外側での純粋な重力に対するエネルギー・運動量テンソルをゼロに等しいと仮定しました。この場合、補助的な構造である古典的計量の変分によって新しい事象の発生が不可能であることがベースになっています。一見すると、この要請がひじょうに強く、計量にゼロ・トレースを持つエネルギー・運動量テンソルによって強く制限されているように思われます。しかし、実際はそうではありません。
　Ｆ(-)[ik]＝０の場合、粒子を取り囲んでいる領域では古典的計量は接続と厳密に一致することが可能です。古典的計量以外に他に何もなく、すべての特異性は計量接続の構造を持ち、領域のいたる所で固有作用量と計量間隔の間で比例関係が厳密に成り立っています。したがって、作用量がゼロである粒子を取り囲む領域では、リッチ・テンソルが必然的にゼロに収束しなければなりません（この時にエネルギー・運動量テンソルもゼロに収束し、またその逆も成り立ちます）。

・・・・・●●●●●　今日も１日感謝の心で　●●●●●・・・・・・