「田井塾」：江戸川のほとりにて－祈りの心(65-6)

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　人は勉強を手段として己の心の中に「泉」を見出し、いつしかそこに「美」が映えるを知る。人はこれをして彼方に「像」を予感し、それを求めて今を生きる。－田井－
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・・・・・序奏・・・・・

● Richard Clayderman ●・・・「LETTRE A MA MERE（母への手紙）」
　

●江戸川のほとりにて－詳説「時空間論」（６５－６）－●

　６５：状態空間における内部群（６）－

　＜大切な用語＞
　時空間、座標系、内的変換、部分群、基準点、ファイバー空間、粒子、ラグランジアン、ポアンカレ群、事象、確率流ベクトル密度、ディラックの行列式、実数代数、接続、ノルム、並進作用、カイラル基準点、恒等変換、測定法群、生成元．

　「要　約」
　時空間における座標系の変化によって内的変換の部分群を完全に誘導し、存在させることが出来るという特殊性を考慮した基準点を状態空間中に用意しなければならない。「ファイバー空間における粒子のラグランジアン（６３－１～９）」でポアンカレ群の特徴を考慮することによって事象が形成される確率流ベクトル密度の状態空間における表示について議論した。また、この表示を記述するために必要なディラックの行列によって実数代数Ｍ（４，Ｃ）の基準点が発生することを知った。
　基準点がポアンカレ群によって誘導される変換をＭ（４，Ｃ）で記述出来るので、この基準点によって、つまり、ポアンカレ群の部分群ＳＯ（３，１）によって、基準点を状態空間中に構築する問題は解決する。ファイバー空間に接続を導入することによって、また状態空間中でのノルムの変化の変換によって並進作用が発生しているからだ。
　こうして誘導された変換を含む生成元のカイラル基準点を記述すると下記本文訳中の組（１）で表される。なお、カイラル基準点ないしこれとアナロジーな基準点に従って、時空間における測定法群によって誘導される変換を状態空間中に採用出来るわけだが、のみならず、状態ベクトルの既約表示に関心がある場合もこの基準点を使うことが出来る。

　「原文訳」
　時空間における座標系の変化によって、あらゆる可能な内的変換の部分群を完全に具体的に誘導し、存在させることが出来るので、私たちはこの与えられた特殊性を考慮した基準点を状態空間中に用意しなければなりません。「ファイバー空間における粒子のラグランジアン（６３－１～９）」において私たちは、ポアンカレ群の特徴を考慮することによって事象が形成される確率流ベクトル密度の状態空間中における表示について議論しました。また、そこではこの表示を記述するために必要なディラックの行列によって実数代数Ｍ（４，Ｃ）の基準点が発生することを知りました。
　この基準点がポアンカレ群によって誘導される変換をＭ（４，Ｃ）で記述することを可能にするので、したがって、この基準点によってこそ私たちの問題は解決すると言えます。正確に言うとポアンカレ群の部分群ＳＯ（３，１）によってです。なぜなら、ファイバー空間に接続を導入することによって、また状態空間中でノルムの変化の変換によって並進作用が考慮されているからです。
　ここで、これらの誘導された変換を含む生成元のカイラル基準点をはっきりした形で導いてみましょう。すると、次のようになります。
　Γ<c>[1]＝γ<1>[c]＝（ａｂｃｄ），Γ<c>[2]＝γ<2>[c]＝（ｅｆｇｈ）．
　ただし、ａは行列の１行目の組（０００－ｉ），ｂは２行目の組（００－ｉ０），ｃは３行目の組（０ｉ００），ｄは４行目の組（ｉ０００）を意味しています。同様に、ｅは１行目の組（０００－１），ｆは２行目の組（００１０），ｇは３行目の組（０１００），ｈは４行目の組（－１０００）を意味しています。
　Γ<c>[3]＝γ<3>[c]＝（ａｂｃｄ），Γ<c>[4]＝γ<4>[c]＝（ｅｆｇｈ）．
　同様にして、ａ＝（００－ｉ０），ｂ＝（０００ｉ），ｃ＝（ｉ０００），
ｄ＝（０－ｉ００），ｅ＝（００１０），ｆ＝（０００１），ｇ＝（１０００），
ｈ＝（０１００）です。
　Γ<c>[5]＝γ<5>[c]＝（ａｂｃｄ），　Γ<c>[6]＝Ｄ<1>[c]＝（ｅｆｇｈ）．
　同様にして、ａ＝（１０００），ｂ＝（０１００），ｃ＝（００－１０），
ｄ＝（０００－１），ｅ＝（０００－１），ｆ＝（００－１０），ｇ＝（０－１００），
ｈ＝（－１０００）です。
　Γ<c>[7]＝Ｄ<2>[c]＝（ａｂｃｄ），Γ<c>[8]＝Ｄ<3>[c]＝（ｅｆｇｈ）．
　同様にして、ａ＝（０００ｉ），ｂ＝（００－ｉ０），ｃ＝（０ｉ００），
ｄ＝（－ｉ０００），ｅ＝（００－１０），ｆ＝（０００１），ｇ＝（－１０００），
ｈ＝（０１００）です。　
　Γ<c>[9]＝Ｄ<4>[c]＝（ａｂｃｄ），Γ<c>[10]＝σ<12>[c]＝（ｅｆｇｈ）．
　同様にして、ａ＝（００－ｉ０），ｂ＝（０００－ｉ），ｃ＝（ｉ０００），
ｄ＝（０ｉ００），ｅ＝（１０００），ｆ＝（０－１００），ｇ＝（００１０），
ｈ＝（０００－１）です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（１）
　Γ<c>[11]＝σ<13>[c]＝（ａｂｃｄ），Γ<c>[12]＝σ<23>[c]＝（ｅｆｇｈ）．
　同様にして、ａ＝（０ｉ００），ｂ＝（－ｉ０００），ｃ＝（０００ｉ），
ｄ＝（００－ｉ０），ｅ＝（０１００），ｆ＝（１０００），ｇ＝（０００１），
ｈ＝（００１０）です。
　Γ<c>[13]＝σ<14>[c]＝（ａｂｃｄ），Γ<c>[14]＝σ<24>[c]＝（ｅｆｇｈ）．
　同様にして、ａ＝（０－１００），ｂ＝（－１０００），ｃ＝（０００１），
ｄ＝（００１０），ｅ＝（０ｉ００），ｆ＝（－ｉ０００），ｇ＝（０００－ｉ），
ｈ＝（００ｉ０）です。
　Γ<c>[15]＝σ<34>[c]＝（ａｂｃｄ）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　同様にして、ａ＝（－１０００），ｂ＝（０１００），ｃ＝（００１０），
ｄ＝（０００－１）です。
　なお、恒等変換の生成元Γ<c>[0]は「状態空間における内部群（６５－３）」で導いたΓ[0]＝（ａｂｃｄ）と同じです。ただし、ａ＝（１０００），ｂ＝（０１００），
ｃ＝（００１０），ｄ＝（０００１）です。
　こうして、このカイラル基準点ないしこれとアナロジーな基準点に従って、時空間における測定法群によって誘導される変換を状態空間中に採用することになります。実は、私たちが状態ベクトルの既約表示に関心がある場合、この場合もこの基準点が適しています。　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
・・・・・●●●●●　今日も１日感謝の心で　●●●●●・・・・・・