「田井塾」：江戸川のほとりにて－祈りの心(65-5)

・・・「田井塾」：江戸川のほとりにて－祈りの心（６５－５）－・・・
　☆この世に存する限り、人は人としてプロである。人は勉強を手段に己の心に「泉」を見出し、いつしかそこに「美」の映えるを知る。これをして彼方に「像」を予感し、それを求めて今を生きる。－田井－

・・・・・　序　奏　・・・・・
●-C.Danvers,C.Sigman-・・・「 TILL 」（「愛の誓い」）
　

●●　江戸川のほとりにて：－詳説「時空間論」（６５－５）－　●●

　６５：状態空間における内部群（５）

　 ＜大切な用語＞
　生成元、行列、状態空間、変換、状態ベクトル、ノルム化、パラメーター、基準点、非古典的接続、座標系、時空間、ファイバー空間、接続群、変換群、共変微分、ＳＵ（４）群、内的変換、測定法、対称性、Ｕ（１）群、既約表示、粒子、遷移、相互作用．

　「要　約」
　すでに紹介した生成元Γ[a]の行列の組は、状態空間における可能な変換を状態ベクトルのノルム化を不変にしたままで記述する方法の１つであるが、このような任意の変換式は一般に下記本文訳中の（１）式の形で表される。ただし、この式中の変換のパラメーターφ<a>は実数であり、また、このような変換によって結ばれている状態ベクトルの組は、固定された基準点に関してさまざまに向きを変えた１つの状態ベクトルと見なすことが出来る。
　ところで、状態空間における状態ベクトルのあらゆる可能な変換は非古典的接続を積分することによって与えられているので、この変換は、座標系によって実在化されないとしても、時空間における適切な方法と言える。これは時空間における接続の場合も同様である。よって、ファイバー空間における接続群は状態空間における変換群と一致している。
　したがって、「状態空間における内部群（６５－３）」で導いた生成元は、同（２）の共変微分式で表されるファイバー空間における接続の生成元として利用出来る生成元の組を成している。なお、同（２）式中のĄ<a>[j]が実数も複素数も取る場合、状態空間におけるＳＵ（４）群のみならず、時空間におけるあらゆる変換も考慮されている。
　ただし、接続の生成元が状態空間のベクトルに対して内的に変換作用を及ぼすとしても、この変換は仮説的であって、この変換によって結ばれた状態ベクトル（対応する粒子）は観測するたびに異なっている可能性がある。このため、測定結果を記述している状態ベクトルを内的変換群に関してではなく、時空間における測定法を誘導する変換群に関して区別している。
　実は、内的変換の存在は状態空間の隠された性質で、この対称性は許容される測定法を制限すると破れてしまう。だから、ファイバー空間において接続を介して作用する群を使って時空間中の点から点に遷移する場合、この群の内部で状態ベクトルは実際に互いに変換し合っている。この変換の中には時空間変換の一方の既約表示から他方の既約表示の遷移も入っている。また、接続は粒子の一方から他方への変換、つまり、粒子同士の相互作用を記述している。

　「本文訳」
　すでに紹介した生成元Γ[a]の行列の組は、状態空間における可能な変換を状態ベクトルのノルム化を不変のままにして記述する方法の１つです。このような任意の変換は一般に次のような形の式で表されます。すなわち、
　Ｕ＝exp（ｉφ<a>Γ[a]）．・・・（１）　　　　
　ただし、変換のパラメーターφ<a>は実数です。なお、このような変換によって結ばれている状態ベクトルの組は、固定された基準点に関してさまざまに向きを変えた１つの状態ベクトルと見なすことが出来ます。
　ここで思い出していただきたいのですが、状態空間における状態ベクトルのあらゆる可能な変換は可能な非古典的接続を積分することによって与えられます。この意味で、この変換は、座標系による実在化は許容されていないとしても、時空間における適切な変換方法と言えます。時空間における接続の場合も同様です。つまり、ファイバー空間における接続群は状態空間における変換群と一致しています。
　したがって、「状態空間における内部群（６５－３）」で導いた生成元は、「ファイバー空間における接続（６０－２）」で定義した次の共変微分の関係式、すなわち、
　∇[j]＝∂[j]＋Ą[j]＝∂[j]＋ｉｑĄ<a>[j]Γ[a]，・・・（２）
つまり、この関係式のファイバー空間における接続の生成元として利用出来る生成元の組を成しています。この接続を記述するための基準点としてです。この式の中のĄ<a>[j]が実数だけでなく、複素数も取る場合、これによって事実上、状態空間におけるＳＵ（４）群の発生だけでなく、時空間におけるあらゆる可能な変換も考慮されていることになります。　
　しかし、接続の生成元が状態空間のベクトルに対して内的変換のような作用を及ぼすとしても、これらの測定結果の意味は全く異なっています。内的変換は仮説的に存在しているのであって、この変換によって結ばれた状態ベクトル（対応する粒子）は観測するたびに異なっている可能性があります。だから、私たちは測定結果を記述している状態ベクトルをこの内的変換群に関してではなく、変換によって時空間における測定法を誘導する変換群に関して区別しているのです。
　実際のところ、内的変換の存在は状態空間の隠された性質です。この対称性は私たちに許容される測定法を制限することによって破れます。だから、ファイバー空間において接続を介して作用する形式的に同じ群(つまり、実数のノルムと一般的位相の変化の操作を加えられた群Ｕ（１）)を使って時空間中の点から点に遷移する場合、この群の内部で状態ベクトルは実際に互いに変換しているのです。この変換の中には、状態ベクトルの一方の時空間変換の既約表示から他方の既約表示への遷移も入っています。接続は粒子の一方から他方への実際の変換、つまり、粒子同士の相互作用を記述しています。
　
　●●●●●●●●●●　今日も一日感謝の心で　●●●●●●●●●●