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「田井塾」:江戸川のほとりにて-詳説「時空間論」2-2022年07月01日

「田井塾」:江戸川のほとりにて-詳説「時空間論」2- 関連画像1
・・・・・・・・・・「田井塾」:江戸川のほとりにて-詳説「時空間論」2-・・・・・・・・・・

・・・・・ 序 奏 ・・・・・
●-C.Danvers,C.Sigman-・・・「 TILL 」(「愛の誓い」)

 ※2019年4月20日に受理した本書「時空間論」(445ページ)の下訳作業を2022年6月11日に終了しました。次の活動ですが、これまでの計画を大幅に見直し、この「えどがわ産業ナビ」の場を利用して「詳説『時空間論』」として再度文章の書き直し(読み直し)作業を行うことにしました。この実験的試みに多くの皆さまが関心をお寄せくださいますよう願っております(2022.6.14記)

●● 江戸川のほとりにて:-詳説「時空間論」2- ●●
 
 2:実在世界と多様体

 <大切な用語>
 理想的測定法、連続体、適切な、実在世界、対象、対応関係、次元数、スケール、写像、不変、観測者、局所的、貼り合わせ、接続、基準点、多様体、地図、世界地図、座標、基底ベクトル、座標変換、微分可能性、行列式

 一方の理想的測定法からもう一方の理想的測定法へ移行した場合、これらの関係は互いの連続体と1:1の対応関係にある写像によって描かれます。これから「適切な」という用語がたびたび出て来ますが、正にここにその意味があります。つまり、像の中の1つの対象(数値的連続体の中の1つの点)が実在世界の中の1つの対象と正確に一致しているということなのです。もちろん、この逆も成り立ちます。
 したがって、実在世界の同じ領域を理想的に描いた像はすべてこの関係になければなりません。また、この場合、連続体の次元数は測定に使われるスケールの数に等しく、また理想的な連続体を写像するさいの不変量でもあります。 
 それではここで、実在世界の理想的な像について、つまり理想的な測定法について議論しましょう。
 ある観測者が自分が測定している実在世界の小さな領域の像だけを記述したとしましょう。また、もう一人の観測者がやはりこの世界の小さな領域を、しかもまったく同じ領域を観測し、そしてこの部分の像を記述したとしましょう。ただし、この後者の観測者は別の測定法を使っていたとしましょう。もしこれらが理想的な像であるなら、これらの像は互いに1:1の写像関係で結ばれていると言えます。
 この実在世界の全体の像、ないしかなり広い領域の像は、さまざまな観測者の局所的な像を貼り合わせることによって与えられます。これが実際に可能であるためには、隣り合う観測者の測定領域に重なりの部分があること、それから彼等の測定方法がここでは互いに一致していることが必要です。なぜなら、実在世界を構築するすべての小さな領域は互いに1:1の関係で写像されなければならないからです。
 たとえば、実在世界のさまざまにずれた小領域の像が一致しているのは、測定法として実在世界上のさまざまな点に基準点が隣接するように置かれているためです。このような性質を持った連続的な数値的集合は多様体と呼ばれています。局所的な記述にこの多様体の概念が必要なのは言うまでもありません。
 それぞれの観測者によって求められた像はこの多様体の「地図」と言えます。この地図が実在世界の領域を部分的に覆っている場合があれば、完全にカバーしている場合もあります。これらの地図が集まって「世界地図」が作られるわけです。
 実在世界のそれぞれの対象はこの地図上に座標{x<i>}を持った点で記述されます。なお、この座標は次元数であり、またこれによって対象同士の区別が可能となります(なお、記号x<i>の<>ですが、これはiがxの上付きであることを意味しています)。スケールは各点と結ばれている単位基底ベクトルで記述されています。一方の理想的測定法から他方の理想的測定法への移行はそれぞれの地図上で座標変換によって行われます。ただし、古い座標の関数としての新しい座標{x<i'>}は連続的で、しかも互いに一義的でなければなりません。この結果として、座標の微分可能性と行列式に対する制限が次式で与えられます。すなわち、
 Δ=det∥∂x<i'>/∂x<i>∥≠0.

 <要 約>
 2人の観測者AとBが実在世界の同じ小領域を観測している。Aがこの領域を測定した結果を数値的連続体に写像して得られた像を<A>、Bがこの領域をAと異なる測定方法で測定した結果を数値的連続体に写像して得られた像を<B>とする。両者の測定方法が理想的である場合、Aが小領域中において測定した対象と<A>中の対象とは1:1の対応関係になっている。Bの場合も同様であり、また、測定法が異なっていても、<A>と<B>の対象は1:1の対応関係になっている。
 実在世界で観測者AとBの観測領域が異なっている場合、両者の領域に重なる部分が存在すること、それから両者の基準点を隣接するように置き、この点をベースに同じ測定方法で領域を観測することが大切である。このようにして与えられた結果を数値的連続体に写像したとき、この連続体は多様体と呼ばれる。基準点、測定法が共通しているため、与えられた像<A>と<B>は多様体上にて「地図」の働きをすることになる。
 実在世界上にて観測された小領域中の地点(対象)はこの地図上に座標{x<i>}として記述され、またこれによって地図上での微分可能性が確定し、こうして私達が存在する世界を数学的に議論出来るようになる。なお、スケールはそれぞれの座標地点での基本単位ベクトルで与えられ、測定に使われるスケールの数が次元数となる。
 
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