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科学啓蒙作家の塾「田井塾」
「田井塾」：文化活動としての試み－時空間論29－2020年09月19日
・・・・・・・・・・「田井塾」：文化活動としての試み－「時空間論」－・・・・・・・・・・
・・・・・ 序 奏 ・・・・・
●-C.Danvers,C.Sigman-・・・「 TILL 」（「愛の誓い」）
※田井塾はおかげ様で令和３年５月で創立５０周年を迎えます。これを契機として２００５年に発表した時間論『時間の不思議』（東京図書）に続いて現在ロシアで発表された「空間論」を翻訳しています。内容的にひじょうに貴重な本書の翻訳活動を将来的には江戸川区の文化活動の一環として江戸川区に申請し、江戸川区民をはじめ日本国民の皆さまの精神的な豊かさに貢献できますよう心から願っております。しばらくの間、この場にて試訳を公開させていただき、まず多くの皆さまにご意見を伺わせていだく次第です。なお、内容に矛盾がありましたら、訂正までお待ちください。
●● 文化活動としての「時空間論」への招待－その２９－ ●●
スカラー積が求められると、ある地点における方向を一定の不変的な記号で記述できるようになります。ここではこの方法についてお話ししましょう。
まず変位の成分を連続的に変化させます。ある地点における正規計量テンソルの値は、変位成分の関数として変化するノルムの２乗、つまり、二次形式をした一定の係数をなしています。したがって、ノルムの２乗の値は方向に関する連続関数と言えます。
ｄｘ<i>が無限小変位で、そのノルムの２乗がゼロより大きく、その他がゼロより小さい場合、２乗した値がゼロになる方向が存在します。このような方向は等方的と呼ばれていますが、計量の符号は一定ではありません。
すべての方向に対してδｓ(-)<2>＞０である場合、計量は符号がプラスで一定になっています。計量の符号がマイナスで一定の場合は、後述のように、プラスの場合と現象が反対になっています。ここで大切なのは、スケールのノルムの２乗の符号がそのスケールの方向でのδｓ(-)<2>の符号と一致していることです。
このようにして決定された方向は、計量の符号がプラス、マイナスそれぞれで一定の場合に従って、曲線が観測地点で同等の立場で出たり入ったりするように描かれています。
それでは次に、実在世界のモデルの中で測定法が理想的である場合と理想的でない場合とでどのような計量が発生するのか、この問題を考えて見ましょう。
局地的に測地線的（軌道に対する外部接続の対称成分がゼロになっている）な座標系においては、つまり、対象がｉ<*>の自然なスケールで示されている座標系においては（ただし、ｉ<*>は固定された添字）、ベクトルは次のように表示されます。
ｄｘ<i>／ｄｓ(-)＝ｅ<i>[i<*>]＝｛０，０，．．．，０，１［ｘ<i*>］，０，０，．．．｝．
ただし、ｉ<*>は私たちが選んだスケールの成分です。
上記のベクトルはベクトルが存在している線に対して接線をなしています（つまり、この線上においてはベクトルは一定になっています）。なお、この線は次の関係式からなる直線的座標線によって、すなわち、ｉ≠ｉ<*>の時はｘ<i>＝０，またｉ＝ｉ<*>の時は対象が存在する線において正規スカラー・パラメーターｓ(-)を持つ式ｘ<i*>＝ｓ(-)×１［ｘ<i*>］によって描かれています。
ところで、ここで問題にしているスケールは、これが存在するそれぞれの地点においてノルムを１つ持っています。すなわち、
ｅ<2>[i*]＝Ｎ(-)[ik]ｅ<i>[i*]ｅ<k>[i*]＝Ｎ(-)[ik]（ｄｘ<i>／ｄｓ(-)）（ｄｘ<k>／ｄｓ(-)）＝１．・・・（１）
また、これより、
Ｎ(-)[i*i*]＝１［ｘ<i*>]<-2>．
なお、ここで考察している座標系においては
（Ｄ／ｄｓ(-)）（ｄｘ<i>／ｄｓ(-)）＝ｄ<2>ｘ<i>／ｄｓ(-)<2>＝０
が明らかに成り立ち、正規スカラー・パラメーターが実際に標準的で、問題にしているスケールときちんと一致していることが分かります。
理想的な測定法の場合、それぞれのスケールは任意の対象によって実在化され、また上記の関係式（１）が、一般にたとえ同時でないにしろ、すべてのスケールに適用されます。理想的なスケールはそれぞれの地点においてあらゆる方向に存在しているので、計量テンソルのすべての対角成分が１で、その他の成分が０であるような座標系をつねに見出すことが出来ます。このような測定法の場合、スケールは互いに直交しています。もちろん、このような性質は１つの測定法だけでなく、直交回転と関連するすべてのクラスが持っていることは言うまでもありません。ここで、このようにして作られた計量は完全に一定であることを強調しておきましょう。
それぞれのスケールは符号がプラスのノルムの２乗を持っています。この点で、単位が任意でもスケールはすべてが同じだと言えます。方向を連続的に変化させることによって、一方のスケールから他方のスケールに、すべての方向に対して正規スカラー・パラメーターをゼロに縮退させることなく、移行することが出来ます。もちろん、理想的なスケールはどの地点にも任意の方向で存在しているからです。
理想的なスケールは次のような対象のグループを構成しています。つまり、中間にある連続的な対象の集まりを介して、あるグループの典型から別のグループの典型に連続的に移行することの出来るようなグループを形成しているのです。これは任意の地点における理想的な変換群が単連結していることを意味しています。
一般的に言うと、スケールが理想的であるために必要なのは自然計量の符号がプラスで一定であることではなく、単に符号が一定であることです。たとえすべての理想的なスケールがマイナスのノルムの２乗で記述されていたとしても、実在世界はそれはそれで合理的に描像されているのです。しかも、この両方で私たちのモデルを描く場合、座標は実数も虚数も使うことが出来ます。ただし、この場合、すべての座標が実数なら実数、虚数なら虚数でなければなりません。
虚数が私たちの実在世界の描像に現れるのは、接続の対称成分によってもたらされる自然な無限小のスカラー・パラメーターが無限に小さな変位に関して線形の形ではなく二次の形で存在しているからです。変位に関する線形に移行するためには、平方根を求めねばなりません。ただし、ノルムの２乗がマイナスの場合は、ノルム自体が虚数になっています。
なお、実在世界を記述するさいに、プラスとマイナスのスケールのノルムの２乗、実数と虚数の座標系といった大域的対称性を使う場合、この対称性は実数と虚数のスカラー・パラメーターの変換で補うことが出来ます。
●●●●●●●●●● 今日も一日感謝の心で ●●●●●●●●●●
・・・・・ 序 奏 ・・・・・
●-C.Danvers,C.Sigman-・・・「 TILL 」（「愛の誓い」）
※田井塾はおかげ様で令和３年５月で創立５０周年を迎えます。これを契機として２００５年に発表した時間論『時間の不思議』（東京図書）に続いて現在ロシアで発表された「空間論」を翻訳しています。内容的にひじょうに貴重な本書の翻訳活動を将来的には江戸川区の文化活動の一環として江戸川区に申請し、江戸川区民をはじめ日本国民の皆さまの精神的な豊かさに貢献できますよう心から願っております。しばらくの間、この場にて試訳を公開させていただき、まず多くの皆さまにご意見を伺わせていだく次第です。なお、内容に矛盾がありましたら、訂正までお待ちください。
●● 文化活動としての「時空間論」への招待－その２９－ ●●
スカラー積が求められると、ある地点における方向を一定の不変的な記号で記述できるようになります。ここではこの方法についてお話ししましょう。
まず変位の成分を連続的に変化させます。ある地点における正規計量テンソルの値は、変位成分の関数として変化するノルムの２乗、つまり、二次形式をした一定の係数をなしています。したがって、ノルムの２乗の値は方向に関する連続関数と言えます。
ｄｘ<i>が無限小変位で、そのノルムの２乗がゼロより大きく、その他がゼロより小さい場合、２乗した値がゼロになる方向が存在します。このような方向は等方的と呼ばれていますが、計量の符号は一定ではありません。
すべての方向に対してδｓ(-)<2>＞０である場合、計量は符号がプラスで一定になっています。計量の符号がマイナスで一定の場合は、後述のように、プラスの場合と現象が反対になっています。ここで大切なのは、スケールのノルムの２乗の符号がそのスケールの方向でのδｓ(-)<2>の符号と一致していることです。
このようにして決定された方向は、計量の符号がプラス、マイナスそれぞれで一定の場合に従って、曲線が観測地点で同等の立場で出たり入ったりするように描かれています。
それでは次に、実在世界のモデルの中で測定法が理想的である場合と理想的でない場合とでどのような計量が発生するのか、この問題を考えて見ましょう。
局地的に測地線的（軌道に対する外部接続の対称成分がゼロになっている）な座標系においては、つまり、対象がｉ<*>の自然なスケールで示されている座標系においては（ただし、ｉ<*>は固定された添字）、ベクトルは次のように表示されます。
ｄｘ<i>／ｄｓ(-)＝ｅ<i>[i<*>]＝｛０，０，．．．，０，１［ｘ<i*>］，０，０，．．．｝．
ただし、ｉ<*>は私たちが選んだスケールの成分です。
上記のベクトルはベクトルが存在している線に対して接線をなしています（つまり、この線上においてはベクトルは一定になっています）。なお、この線は次の関係式からなる直線的座標線によって、すなわち、ｉ≠ｉ<*>の時はｘ<i>＝０，またｉ＝ｉ<*>の時は対象が存在する線において正規スカラー・パラメーターｓ(-)を持つ式ｘ<i*>＝ｓ(-)×１［ｘ<i*>］によって描かれています。
ところで、ここで問題にしているスケールは、これが存在するそれぞれの地点においてノルムを１つ持っています。すなわち、
ｅ<2>[i*]＝Ｎ(-)[ik]ｅ<i>[i*]ｅ<k>[i*]＝Ｎ(-)[ik]（ｄｘ<i>／ｄｓ(-)）（ｄｘ<k>／ｄｓ(-)）＝１．・・・（１）
また、これより、
Ｎ(-)[i*i*]＝１［ｘ<i*>]<-2>．
なお、ここで考察している座標系においては
（Ｄ／ｄｓ(-)）（ｄｘ<i>／ｄｓ(-)）＝ｄ<2>ｘ<i>／ｄｓ(-)<2>＝０
が明らかに成り立ち、正規スカラー・パラメーターが実際に標準的で、問題にしているスケールときちんと一致していることが分かります。
理想的な測定法の場合、それぞれのスケールは任意の対象によって実在化され、また上記の関係式（１）が、一般にたとえ同時でないにしろ、すべてのスケールに適用されます。理想的なスケールはそれぞれの地点においてあらゆる方向に存在しているので、計量テンソルのすべての対角成分が１で、その他の成分が０であるような座標系をつねに見出すことが出来ます。このような測定法の場合、スケールは互いに直交しています。もちろん、このような性質は１つの測定法だけでなく、直交回転と関連するすべてのクラスが持っていることは言うまでもありません。ここで、このようにして作られた計量は完全に一定であることを強調しておきましょう。
それぞれのスケールは符号がプラスのノルムの２乗を持っています。この点で、単位が任意でもスケールはすべてが同じだと言えます。方向を連続的に変化させることによって、一方のスケールから他方のスケールに、すべての方向に対して正規スカラー・パラメーターをゼロに縮退させることなく、移行することが出来ます。もちろん、理想的なスケールはどの地点にも任意の方向で存在しているからです。
理想的なスケールは次のような対象のグループを構成しています。つまり、中間にある連続的な対象の集まりを介して、あるグループの典型から別のグループの典型に連続的に移行することの出来るようなグループを形成しているのです。これは任意の地点における理想的な変換群が単連結していることを意味しています。
一般的に言うと、スケールが理想的であるために必要なのは自然計量の符号がプラスで一定であることではなく、単に符号が一定であることです。たとえすべての理想的なスケールがマイナスのノルムの２乗で記述されていたとしても、実在世界はそれはそれで合理的に描像されているのです。しかも、この両方で私たちのモデルを描く場合、座標は実数も虚数も使うことが出来ます。ただし、この場合、すべての座標が実数なら実数、虚数なら虚数でなければなりません。
虚数が私たちの実在世界の描像に現れるのは、接続の対称成分によってもたらされる自然な無限小のスカラー・パラメーターが無限に小さな変位に関して線形の形ではなく二次の形で存在しているからです。変位に関する線形に移行するためには、平方根を求めねばなりません。ただし、ノルムの２乗がマイナスの場合は、ノルム自体が虚数になっています。
なお、実在世界を記述するさいに、プラスとマイナスのスケールのノルムの２乗、実数と虚数の座標系といった大域的対称性を使う場合、この対称性は実数と虚数のスカラー・パラメーターの変換で補うことが出来ます。
●●●●●●●●●● 今日も一日感謝の心で ●●●●●●●●●●
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