「田井塾」：江戸川のほとりにて－祈りの心(69-6)

最終更新日：2025年11月25日

・・・「田井塾」：江戸川のほとりにて－祈りの心（６９－６）－・・・
　☆この世に存する限り、人は人としてプロである。人は勉強を手段に己の心に「泉」を見出し、いつしかそこに「美」の映えるを知る。これをして彼方に「像」を予感し、それを求めて今を生きる。－田井－

・・・・・　序　奏　・・・・・
●-C.Danvers,C.Sigman-・・・「 TILL 」（「愛の誓い」）
　

●●　江戸川のほとりにて：－詳説「時空間論」（６９－６）－　●●

　６９：パリティとスピン（６）

　＜大切な用語＞
　基底スピノル、土台、行列、元、時空間、点関数、群、表示、状態ベクトル、エルミート演算子、運動量モーメント、演算子、空間反射、ベクトル表示、擬ベクトル表示、測定量、事象、クサリ、既約表示、時間、空間、質量、粒子、反粒子、パリティ、スピン、射影．

　「要　約」
　まず確認すると下記本文訳中の（１）式の形の基底スピノルは、任意のスピノルを分解出来る標準的な土台であり、分解された式の係数は時空間における点関数になっている。ただし、この関数は群表示としては考察領域に限られている。
　さいごのｊ＝１の場合であるが、この場合の状態ベクトルの表示は３次元になっている。またこの表示の演算子としては同（２）式の群の生成元の行列を選ぶことが出来る。
　また、空間反射の演算子Ｐ[-]が作用すると、ｊ＝１の場合でベクトル表示と擬ベクトル表示と呼ばれる２つの表示が存在している。この抽象的なベクトル表示と４×４行列の状態空間において対応する表示との間の関係はスピノルの場合とアナロジーで、これらに対応する行列は３次元ベクトルを形成する３つの数と同様に変換される。
　このように抽象的な数学的空間の測定量を増やし、つまり、実在世界のモデルを時空間中のモデルに変換し、これを３次元空間における記述に付加し、こうして事象のクサリとは異なる粒子の存在を考慮することによって、状態ベクトルの可能な既約表示の数を増やしている。ここでは、時間と空間の関係が測定法の選択に対する特別な制限によって切り離されるような特別な状態にあるが、このような場合でも、質量とか粒子、反粒子といったすでに述べているそれぞれの既約表示の特性に対して、パリティやスピンといった特性を付加している。もし空間に選ばれた方向があるなら、この方向に対するスピンの射影もさらに存在することになる。

　「本文訳」
　もう一度確認すると、次の形の基底スピノルは、任意のスピノルを分解することの出来る標準的な土台です。つまり、
　Ψ[+]＝（ｂｃ），Ψ[-]＝（ｄｅ）．・・・（１）
　ただし、ｂは行列１行１列の元１を、ｃは２行１列の元０を意味しています。また、ｄは１行１列の元０を、ｅは２行１列の元１を意味しています。
　この場合、分解された式の係数は一般に時空間における点関数になっています。もちろん、これらの関数は考察領域に限られた群の表示を表しています。
　それでは次に、ｊ＝１の場合の議論に移りましょう。この場合の状態ベクトルの表示は３次元になっています。ここで、「パリティとスピン（６９－３）」で導入した、エルミート演算子の形で記述した３つの運動量モーメントの成分を念のためにもう一度記述すると、
　Ｊ[1]＝Ｍ[32]＝ｉ（ｇ[33]ｘ<3>（∂／∂ｘ<2>）－ｇ[22]ｘ<2>（∂／∂ｘ<3>）），
　Ｊ[2]＝Ｍ[13]＝ｉ（ｇ[11]ｘ<1>（∂／∂ｘ<3>）－ｇ[33]ｘ<3>（∂／∂ｘ<1>）），
　Ｊ[3]＝Ｍ[21]＝ｉ（ｇ[22]ｘ<2>（∂／∂ｘ<1>）－ｇ[11]ｘ<1>（∂／∂ｘ<2>））．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（２）
つまり、ここでの状態ベクトルの表示の演算子としてこの（２）式の群の生成元の行列を選ぶことが出来ます。
　空間反射の演算子Ｐ[-]が状態ベクトルに作用した結果に対応して、ｊ＝１の場合でベクトル表示と擬ベクトル表示と呼ばれる２つの表示が存在しています。抽象的なベクトル表示と４×４行列の状態空間において対応する表示との間の関係はスピノルの場合とアナロジーで、これらに対応する行列は３次元ベクトルを形成する３つの数と同様に変換されます。
　このように、数学的空間の測定量を増やすことによって、言い換えると、私たちの実在世界のモデルを時空間中のモデルに変換し、こうして３次元空間における記述に付加することによって実現している事象のクサリとは異なる、粒子の存在を考慮することによって、状態ベクトルの可能な既約表示の数を増加させています。ここで議論している特別な場合でも、つまり、時間と空間の関係が測定法の選択に対する特別な制限によってまだ切り離されているような場合でも、質量とか粒子、反粒子といったすでに述べているそれぞれの既約表示の特性に対して、パリティやスピンといった特性を付加しています。もし空間に選ばれた方向があるなら（これが実際につねに存在するとすれば、それは座標系に対して運動している粒子の運動方向となります）、この方向に対するスピンの射影もさらに存在することになります。
　
　●●●●●●●●●●　今日も一日感謝の心で　●●●●●●●●●●　