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科学啓蒙作家の塾「田井塾」
「田井塾」：江戸川のほとりにて－時空間論53－2021年03月07日
・・・・・・・・・・「田井塾」：江戸川のほとりにて－「時空間論」－・・・・・・・・・・
・・・・・ 序 奏 ・・・・・
●-C.Danvers,C.Sigman-・・・「 TILL 」（「愛の誓い」）
※田井塾はおかげ様で令和３年５月で創立５０周年を迎えます。これを契機として２００５年に発表した時間論『時間の不思議』（東京図書）に続いて現在ロシアで発表されたアインシュタインの「一般相対性理論」の流れを汲む「時空間論」を翻訳しています。内容的にひじょうに貴重な本書の翻訳活動を将来的には江戸川区の文化活動の一環として江戸川区に申請し、江戸川区民をはじめ日本国民の皆さまの精神的な豊かさに貢献できますよう心から願っております。しばらくの間、この場にて試訳を公開させていただき、まず多くの皆さまにご意見を伺わせていだく次第です。なお、内容に矛盾がありましたら、訂正までお待ちください。
●● 江戸川のほとりにて「時空間論」－その５３－ ●●
話は続きます。
実在世界を記述するさいにあらゆる不確定性を考慮した場合、私達は実在世界のモデルとして１つの数学的空間だけでなく、このような空間として許容される空間の総体を相手にすることになります。つまり、この総体を時空間と呼ばなければなりません。なお、事象の総体としての時空間の次元は、この場合、ある意味でつねに同じでゼロになっています。
現在の話しの段階では実在世界の次元数はまだ具体的に最終的な決定にまで至っていません。曲率場を積分可能成分（重力場）と積分不可能な残りの成分（電磁場）に分ける基となる接続の性質がまだ次元数と具体的に結び付いていないからです。したがって、当分の間、必要がない限り次元数についての議論を深めることは出来ません。ただし、実在世界の記述法と物理学の古典的理論との間の関係を示さなければならない時は次元数を４と制限して議論したいと思います。
このように説明すると、私達の実在世界のモデルが必要なスケールの数が任意でも成り立つと思われるかも知れません。この問題は、この数が具体的にどのようにして決定されるのかという疑問点も含めて徐々に理解されるよう記述に配慮しています。
さて、私達は実在世界のモデルの性質を形式化するさいに発生する構造と古典物理学の構造とを同一視する方向で現在議論を進めています。ある対象の性質を別の対象の観点から観測することによって変化として発生する相対運動によって曲率テンソルが発生し、これに対応して力の場の強さが決定されます。実は、この力の場のポテンシャルと接続とが恒等的にイコールの関係にあります。これは基本的な関係です。とは言え、これから明らかになることですが、この関係式には複雑な問題が絡んでいます。古典物理学は物体の（場所における）相対運動として、ある程度理想的に抽象化された座標系に関して相対的な運動を当てています。その結果、重力現象の理論（「一般相対性理論」）において場の強さとポテンシャルを恒等式で結べない状況が起っているのです。
ここで、古典物理学の場と実在世界のモデルを数学的に形式化した構造を基本恒等式としてイコールで結んでみましょう。すると、場に従う方程式とこの方程式を導く基本的な物理的原理、つまり定常作用の原理の意味と役割について議論することが可能となります。たとえば、私達のモデルの場合、実在世界の領域の唯一の積分特性、つまり、領域内の場を任意に変分すると作用量が定常であること、また、この領域の境界がこの境界上に存在するすべての場と共に不変な状態にあることが明らかになります。
ただし、この場合、任意のスカラーな、領域に対して不変な積分量は定常でなければなりません。この定常性は測定法として許容される変化の下で記述するさいに不変性として必要な一般的な条件であって、結果として導かれる場の方程式は恒等式となっています。しかし、だからと言って、これによって私達の実在世界の記述が完全に無定形な、任意なものになるわけではありません。
私達はすでに、私達のモデルを完全に具体化するための特徴を記述に導入しています。それは他の実在世界から対象を分離すること、対象が存在する部分空間の事象を分離することです。この分離法を使って可能な測定法に制限を加えたり、あるいは可能な接続の構造（接続対象の特異性）に制限を加えたりしているのです。そして正にこの接続対象の特異性によってごくありふれた恒等式から特別な方程式、つまり、正則場とこの場の源を結び付ける方程式が作られているのです。軌道や領域における事象の特異性が連続的な接続成分を任意に変分することによってこれらの場を計算可能な定常なものとし、そしてさらに積分することによって、軌道や領域の特別な不変量として固有作用量を導いているのです。
これらの特異性は接続係数とその導関数によって組み立てられた領域のあらゆるスカラー積分の中に必要に応じて存在しています。したがって、これを特異性の軌道に関して積分することによって標準パラメーターが導かれ、これによってスカラーが任意の形で作用量と結び付いていることが判明し、結果として、このスカラーの定常性を作用量の定常性として考察出来るわけです。
ところで、このようなスカラーに変分原理を応用することによって得られる方程式が構造的に恒等式であるからと言って、これでこうした恒等式を表すために原理の重要性が薄れて行くということはありません。この原理を応用することよって問題を究明することが出来ているのですから、これからも大切にしなければなりません。
実在世界のモデルの次元数は私達がこれからも変分することのない基本的なパラメーターの１つです。すでにお話ししたように、事象の集合はゼロ次元ですが、私達はこの集合を最小の次元数が４であるモデルの中に潜り込ませることが出来ます。ここでは、この意義をまず暗黙に認め、私達の実在世界の連続的なモデルがより大きな次元数を持っている可能性があるとしても、とりあえず、このモデルの構造と物理学の古典的場とを恒等的にイコールで結んで議論を展開してまいりましょう。
話は続きます。
●●●●●●●●●● 今日も一日感謝の心で ●●●●●●●●●●
・・・・・ 序 奏 ・・・・・
●-C.Danvers,C.Sigman-・・・「 TILL 」（「愛の誓い」）
※田井塾はおかげ様で令和３年５月で創立５０周年を迎えます。これを契機として２００５年に発表した時間論『時間の不思議』（東京図書）に続いて現在ロシアで発表されたアインシュタインの「一般相対性理論」の流れを汲む「時空間論」を翻訳しています。内容的にひじょうに貴重な本書の翻訳活動を将来的には江戸川区の文化活動の一環として江戸川区に申請し、江戸川区民をはじめ日本国民の皆さまの精神的な豊かさに貢献できますよう心から願っております。しばらくの間、この場にて試訳を公開させていただき、まず多くの皆さまにご意見を伺わせていだく次第です。なお、内容に矛盾がありましたら、訂正までお待ちください。
●● 江戸川のほとりにて「時空間論」－その５３－ ●●
話は続きます。
実在世界を記述するさいにあらゆる不確定性を考慮した場合、私達は実在世界のモデルとして１つの数学的空間だけでなく、このような空間として許容される空間の総体を相手にすることになります。つまり、この総体を時空間と呼ばなければなりません。なお、事象の総体としての時空間の次元は、この場合、ある意味でつねに同じでゼロになっています。
現在の話しの段階では実在世界の次元数はまだ具体的に最終的な決定にまで至っていません。曲率場を積分可能成分（重力場）と積分不可能な残りの成分（電磁場）に分ける基となる接続の性質がまだ次元数と具体的に結び付いていないからです。したがって、当分の間、必要がない限り次元数についての議論を深めることは出来ません。ただし、実在世界の記述法と物理学の古典的理論との間の関係を示さなければならない時は次元数を４と制限して議論したいと思います。
このように説明すると、私達の実在世界のモデルが必要なスケールの数が任意でも成り立つと思われるかも知れません。この問題は、この数が具体的にどのようにして決定されるのかという疑問点も含めて徐々に理解されるよう記述に配慮しています。
さて、私達は実在世界のモデルの性質を形式化するさいに発生する構造と古典物理学の構造とを同一視する方向で現在議論を進めています。ある対象の性質を別の対象の観点から観測することによって変化として発生する相対運動によって曲率テンソルが発生し、これに対応して力の場の強さが決定されます。実は、この力の場のポテンシャルと接続とが恒等的にイコールの関係にあります。これは基本的な関係です。とは言え、これから明らかになることですが、この関係式には複雑な問題が絡んでいます。古典物理学は物体の（場所における）相対運動として、ある程度理想的に抽象化された座標系に関して相対的な運動を当てています。その結果、重力現象の理論（「一般相対性理論」）において場の強さとポテンシャルを恒等式で結べない状況が起っているのです。
ここで、古典物理学の場と実在世界のモデルを数学的に形式化した構造を基本恒等式としてイコールで結んでみましょう。すると、場に従う方程式とこの方程式を導く基本的な物理的原理、つまり定常作用の原理の意味と役割について議論することが可能となります。たとえば、私達のモデルの場合、実在世界の領域の唯一の積分特性、つまり、領域内の場を任意に変分すると作用量が定常であること、また、この領域の境界がこの境界上に存在するすべての場と共に不変な状態にあることが明らかになります。
ただし、この場合、任意のスカラーな、領域に対して不変な積分量は定常でなければなりません。この定常性は測定法として許容される変化の下で記述するさいに不変性として必要な一般的な条件であって、結果として導かれる場の方程式は恒等式となっています。しかし、だからと言って、これによって私達の実在世界の記述が完全に無定形な、任意なものになるわけではありません。
私達はすでに、私達のモデルを完全に具体化するための特徴を記述に導入しています。それは他の実在世界から対象を分離すること、対象が存在する部分空間の事象を分離することです。この分離法を使って可能な測定法に制限を加えたり、あるいは可能な接続の構造（接続対象の特異性）に制限を加えたりしているのです。そして正にこの接続対象の特異性によってごくありふれた恒等式から特別な方程式、つまり、正則場とこの場の源を結び付ける方程式が作られているのです。軌道や領域における事象の特異性が連続的な接続成分を任意に変分することによってこれらの場を計算可能な定常なものとし、そしてさらに積分することによって、軌道や領域の特別な不変量として固有作用量を導いているのです。
これらの特異性は接続係数とその導関数によって組み立てられた領域のあらゆるスカラー積分の中に必要に応じて存在しています。したがって、これを特異性の軌道に関して積分することによって標準パラメーターが導かれ、これによってスカラーが任意の形で作用量と結び付いていることが判明し、結果として、このスカラーの定常性を作用量の定常性として考察出来るわけです。
ところで、このようなスカラーに変分原理を応用することによって得られる方程式が構造的に恒等式であるからと言って、これでこうした恒等式を表すために原理の重要性が薄れて行くということはありません。この原理を応用することよって問題を究明することが出来ているのですから、これからも大切にしなければなりません。
実在世界のモデルの次元数は私達がこれからも変分することのない基本的なパラメーターの１つです。すでにお話ししたように、事象の集合はゼロ次元ですが、私達はこの集合を最小の次元数が４であるモデルの中に潜り込ませることが出来ます。ここでは、この意義をまず暗黙に認め、私達の実在世界の連続的なモデルがより大きな次元数を持っている可能性があるとしても、とりあえず、このモデルの構造と物理学の古典的場とを恒等的にイコールで結んで議論を展開してまいりましょう。
話は続きます。
●●●●●●●●●● 今日も一日感謝の心で ●●●●●●●●●●
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