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科学啓蒙作家の塾「田井塾」
「田井塾」：江戸川のほとりにて－時空間論45－2021年01月20日
・・・・・・・・・・「田井塾」：江戸川のほとりにて－「時空間論」－ ・・・・・・・・・・
・・・・・序奏・・・・・
●C.Danvers-C.Sigman-・・・「TILL（愛の誓い）」
．．．．．あけましておめでとうございます。
．．．．．本年もどうぞよろしくお願い申し上げます。
．．．．．．．令和３年 元旦
※田井塾はおかげ様で令和３年５月で創立５０周年を迎えます。これを契機として２００５年に発表した時間論『時間の不思議』（東京図書）に続いて現在ロシアで発表された「空間論」を翻訳する活動を行っています。内容的にひじょうに貴重な本書の翻訳活動を、将来的には江戸川区の文化活動の一環として江戸川区に申請し、江戸川区民の皆さまをはじめ、日本国民の皆さまの精神的な豊かさに貢献できますよう心から願っております。しばらくの間、ここに試訳を公開させていただき、多くの皆さまにご意見を伺わせていただく次第です。なお、内容に矛盾がありましたら、訂正までお待ちください。
●● 江戸川のほとりにて「時空間論」－その４５－●●
さて、まず相対運動について考えて見ましょう。
運動を記述するためには対象が少なくとも１個存在しなければなりません。運動の一般的な概念は相対的なもので、一方の対象の他を基準としての運動として表現されるからです。ここでは運動を時空間的に記述していますが、しかし、本質的には、多くの対象が存在する部分空間と関連させることなく記述しています。このため、私達は少なくとも２つの対象を考察しなければなりません。
まず私達は局所的な視点の立場に立って、２つの対象が存在するそれぞれの座標系に違いがほとんどないと仮定しましょう。次に、２本の曲線を用意します。１本は対象１が入っている座標系の中に存在し、もう１本は対象２が入っている座標系の中に存在していると仮定しましょう。
ここで簡単な図を描きますのでお付き合いください。まずこれら２本の曲線を平行に並べて引いてください。そして、上の曲線を対象２，下の曲線を対象１とします。次に、対象２の曲線上に左から順に間を空けて点０と２を取ります。それから、まず点０から真下に向かって直線を引き、対象１の曲線と交わった点を１とします。同様にして、点２から直線を引き、対象１の曲線と交わった点を３とします。これからこの図を使って話を続けたいと思います。
それでは、対象１の観点から対象２の内的性質の変化を記述したいと思います。ただし、対象１と一緒に立っている観測者は曲線１に沿って標準スカラーパラメーターを限りなく微小な量ｄｓだけ変化するように移動するものとします。また、私達の目的のために測定出来る性質として反変ベクトルのΔ密度Ｐ<i>を選びます（なお、記号<i>はiがＰの上付きであることを意味しています）。
このΔ密度の最終的な変化をＤＰ<i>／ｄｓと記述します。これは曲線１上に存在する幾何学的対象の変化です。ただし、Ｐ<i>は曲線２の点０の地点に存在していますので注意してください。つまり、ＤＰ<i>／ｄｓの計算をするためには、曲線２から曲線１に向かってＰ<i>を２回移動させなければなりません。次に、この点を説明しましょう。
まず、点０から点２の方向の演算をＤとすると、点０を基準とした点２における値はＰ<i>＋ＤＰ<i>、次に点２から点３の方向の演算をＤ(-)とすると（なお、記号(-)は-がＤの上に位置することを意味します）、点２から点３の値はＤ(-)Ｐ<i>＋Ｄ(-)ＤＰ<i>となりますから、したがって、点０を基準とした点３における値は次のようになります。
Ｐ<i>＋ＤＰ<i>＋Ｄ(-)Ｐ<i>＋Ｄ(-)ＤＰ<i>．・・・（１）
上記の点３までのコースを｛０－２－３｝とすると、それでは、｛０－１－３｝のコースを取った場合、点０を基準とした点３の値はどのようになるでしょうか。この場合は、点０から点１までの演算がＤ(-)、点１から点３までの演算がＤとなりますから、したがって、次の結果が得られます。
Ｐ<i>＋Ｄ(-)Ｐ<i>＋ＤＰ<i>＋ＤＤ(-)Ｐ<i>．・・・（２）
以上の計算により、Ｐ<i>が｛０－２－３｝と｛０－１－３｝のそれぞれのコースに沿って移動した時に地点３で得られる値の差を求めると、（１）式から（２）式を引くことによって、
ＤＰ<i>～Ｄ(-)ＤＰ<i>－ＤＤ(-)Ｐ<i>．
．ただし、絶対微分の記号Ｄの上の線は別のコースを移動していることを意味しているのであって、接続の対称成分に関する微分を意味しているわけではありません。
したがって、地点３におけるΔ密度の最終的な変化ＤＰ<i>／ｄｓを求めると、
ＤＰ<i>／ｄｓ～lim(Δs→0)（Ｄ(-)ＤＰ＜ｉ＞－ＤＤ（－）Ｐ＜ｉ＞）／Δｓ
～（Ｒ<i>[jkl]Ｐ<l>－Ｆ[jk]Ｐ<i>－２Ｔ<p>[jk]∇<p>Ｐ<i>）（ｄｘ<k>[2]／ｄｓ）ΔＸ<j>[12]．・・・（３）
ここで、ΔＸ<j>[12]は対象１と対象２の曲線を結ぶ座標距離、つまり、点０と点１を結ぶ直線の長さですが、これはベクトルではありません。また、この距離は小さいとは言え、無限に小さいわけではありません。したがって、上の式は近似式です。また記号[12]ですが、これは12がXの下付きであることを意味しています。
上に導出された式（３）は基本的な式ですが、この右辺の項が力の物理学的概念を表していること、またテンソルＲ<i>[jkl]とＦ[jk]は場の強さと解釈しなければならないことを教えてくれます。したがって、接続は、これはこれまで何度も繰り返していることですが、統一された物理的場のポテンシャルなのです。
曲率テンソルの反対称縮約であるＦ[jk]は、式（３）の中に独立した項として入っています。なぜなら、私達が密度を変化する性質と見なしているからです。ただし、この項は純粋なテンソルとしては存在しません。スカラー密度の場合と同じように、この項は方程式の中にのみ現れます。
式（３）をベクトル密度の代わりに接線ベクトルｄｘ<j>[2]／ｄｓに応用し、Δｘ<k>[12]→０とすると、最終的に得られる式は近似ではなく正確なものとなり、そして、測地線の方程式、つまり、
Ｄ（ｄｘ<i>／ｄｓ）／ｄｓ＝０
に変化します。これは私達の相対運動の記述に矛盾がなくつじつまが合っていることを示しています。もちろん、極限の場合として静止が記述され、また内的な観点としてのそれ自身に対する運動は入っていません。
●●●●●●●●●● 今日も一日感謝の心で ●●●●●●●●●●
・・・・・序奏・・・・・
●C.Danvers-C.Sigman-・・・「TILL（愛の誓い）」
．．．．．あけましておめでとうございます。
．．．．．本年もどうぞよろしくお願い申し上げます。
．．．．．．．令和３年 元旦
※田井塾はおかげ様で令和３年５月で創立５０周年を迎えます。これを契機として２００５年に発表した時間論『時間の不思議』（東京図書）に続いて現在ロシアで発表された「空間論」を翻訳する活動を行っています。内容的にひじょうに貴重な本書の翻訳活動を、将来的には江戸川区の文化活動の一環として江戸川区に申請し、江戸川区民の皆さまをはじめ、日本国民の皆さまの精神的な豊かさに貢献できますよう心から願っております。しばらくの間、ここに試訳を公開させていただき、多くの皆さまにご意見を伺わせていただく次第です。なお、内容に矛盾がありましたら、訂正までお待ちください。
●● 江戸川のほとりにて「時空間論」－その４５－●●
さて、まず相対運動について考えて見ましょう。
運動を記述するためには対象が少なくとも１個存在しなければなりません。運動の一般的な概念は相対的なもので、一方の対象の他を基準としての運動として表現されるからです。ここでは運動を時空間的に記述していますが、しかし、本質的には、多くの対象が存在する部分空間と関連させることなく記述しています。このため、私達は少なくとも２つの対象を考察しなければなりません。
まず私達は局所的な視点の立場に立って、２つの対象が存在するそれぞれの座標系に違いがほとんどないと仮定しましょう。次に、２本の曲線を用意します。１本は対象１が入っている座標系の中に存在し、もう１本は対象２が入っている座標系の中に存在していると仮定しましょう。
ここで簡単な図を描きますのでお付き合いください。まずこれら２本の曲線を平行に並べて引いてください。そして、上の曲線を対象２，下の曲線を対象１とします。次に、対象２の曲線上に左から順に間を空けて点０と２を取ります。それから、まず点０から真下に向かって直線を引き、対象１の曲線と交わった点を１とします。同様にして、点２から直線を引き、対象１の曲線と交わった点を３とします。これからこの図を使って話を続けたいと思います。
それでは、対象１の観点から対象２の内的性質の変化を記述したいと思います。ただし、対象１と一緒に立っている観測者は曲線１に沿って標準スカラーパラメーターを限りなく微小な量ｄｓだけ変化するように移動するものとします。また、私達の目的のために測定出来る性質として反変ベクトルのΔ密度Ｐ<i>を選びます（なお、記号<i>はiがＰの上付きであることを意味しています）。
このΔ密度の最終的な変化をＤＰ<i>／ｄｓと記述します。これは曲線１上に存在する幾何学的対象の変化です。ただし、Ｐ<i>は曲線２の点０の地点に存在していますので注意してください。つまり、ＤＰ<i>／ｄｓの計算をするためには、曲線２から曲線１に向かってＰ<i>を２回移動させなければなりません。次に、この点を説明しましょう。
まず、点０から点２の方向の演算をＤとすると、点０を基準とした点２における値はＰ<i>＋ＤＰ<i>、次に点２から点３の方向の演算をＤ(-)とすると（なお、記号(-)は-がＤの上に位置することを意味します）、点２から点３の値はＤ(-)Ｐ<i>＋Ｄ(-)ＤＰ<i>となりますから、したがって、点０を基準とした点３における値は次のようになります。
Ｐ<i>＋ＤＰ<i>＋Ｄ(-)Ｐ<i>＋Ｄ(-)ＤＰ<i>．・・・（１）
上記の点３までのコースを｛０－２－３｝とすると、それでは、｛０－１－３｝のコースを取った場合、点０を基準とした点３の値はどのようになるでしょうか。この場合は、点０から点１までの演算がＤ(-)、点１から点３までの演算がＤとなりますから、したがって、次の結果が得られます。
Ｐ<i>＋Ｄ(-)Ｐ<i>＋ＤＰ<i>＋ＤＤ(-)Ｐ<i>．・・・（２）
以上の計算により、Ｐ<i>が｛０－２－３｝と｛０－１－３｝のそれぞれのコースに沿って移動した時に地点３で得られる値の差を求めると、（１）式から（２）式を引くことによって、
ＤＰ<i>～Ｄ(-)ＤＰ<i>－ＤＤ(-)Ｐ<i>．
．ただし、絶対微分の記号Ｄの上の線は別のコースを移動していることを意味しているのであって、接続の対称成分に関する微分を意味しているわけではありません。
したがって、地点３におけるΔ密度の最終的な変化ＤＰ<i>／ｄｓを求めると、
ＤＰ<i>／ｄｓ～lim(Δs→0)（Ｄ(-)ＤＰ＜ｉ＞－ＤＤ（－）Ｐ＜ｉ＞）／Δｓ
～（Ｒ<i>[jkl]Ｐ<l>－Ｆ[jk]Ｐ<i>－２Ｔ<p>[jk]∇<p>Ｐ<i>）（ｄｘ<k>[2]／ｄｓ）ΔＸ<j>[12]．・・・（３）
ここで、ΔＸ<j>[12]は対象１と対象２の曲線を結ぶ座標距離、つまり、点０と点１を結ぶ直線の長さですが、これはベクトルではありません。また、この距離は小さいとは言え、無限に小さいわけではありません。したがって、上の式は近似式です。また記号[12]ですが、これは12がXの下付きであることを意味しています。
上に導出された式（３）は基本的な式ですが、この右辺の項が力の物理学的概念を表していること、またテンソルＲ<i>[jkl]とＦ[jk]は場の強さと解釈しなければならないことを教えてくれます。したがって、接続は、これはこれまで何度も繰り返していることですが、統一された物理的場のポテンシャルなのです。
曲率テンソルの反対称縮約であるＦ[jk]は、式（３）の中に独立した項として入っています。なぜなら、私達が密度を変化する性質と見なしているからです。ただし、この項は純粋なテンソルとしては存在しません。スカラー密度の場合と同じように、この項は方程式の中にのみ現れます。
式（３）をベクトル密度の代わりに接線ベクトルｄｘ<j>[2]／ｄｓに応用し、Δｘ<k>[12]→０とすると、最終的に得られる式は近似ではなく正確なものとなり、そして、測地線の方程式、つまり、
Ｄ（ｄｘ<i>／ｄｓ）／ｄｓ＝０
に変化します。これは私達の相対運動の記述に矛盾がなくつじつまが合っていることを示しています。もちろん、極限の場合として静止が記述され、また内的な観点としてのそれ自身に対する運動は入っていません。
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