「田井塾」：江戸川のほとりにて－祈りの心(65-4)

・・・・・「田井塾」：江戸川のほとりにて－祈りの心（６５－４）－　・・・・・
　
・・・・・序奏・・・・・
●C.Danvers-C.Sigman-・・・「TILL（愛の誓い）」

※２０１９年４月２０日に受理した本書「時空間論」（４４５ページ）の下訳作業を２０２２年６月１１日に終了しました。次の活動ですが、これまでの計画を大幅に見直し、この「えどがわ産業ナビ」の場を利用して「詳説『時空間論』」として再度文章の書き直し（読み直し）作業を行うことにしました。この実験的試みに多くの皆さまが関心をお寄せくださいますように。（２０２２．６．１４記）

●●　江戸川のほとりにて：－詳説「時空間論」（６５－４）－●●

　６５：状態空間における内部群（４）

　＜大切な用語＞
　生成元、基準点、構造定数、テンソル、ＳＵ（４）群、カルタン計量、正規化因子、部分群ＳＵ（２）、部分群ＳＵ（３）．
　
　「要　約」
　生成元の基準点の構造定数のテンソルは下記本文訳中の（１）の関係式を使うことによって、同（２）の組として与えられる。
　ＳＵ（４）群の代数は実数で、基準点の生成元は線形的に独立し、直交している。「状態空間における内部群（６５－３）」で導いたＳＵ（４）群に関連する基準点においてはカルタン計量は対角状をなし、同（３）式のような標準型をしている。正規化因子Ｎ[Γ]＝１／４を導入すると、基準点は標準化され、カルタン計量の対角線はg[aa]＝－１となる。
　なお、構造定数のテンソルのグループ化によって明らかなように、つまり、「状態空間における内部群（６５－３）」に記述した（１）の生成元の総体から明らかなように、ＳＵ（４）群の中に部分群ＳＵ（２）とＳＵ（３）が存在している。

　「原文訳」
　それでは、生成元の基準点の構造定数のテンソルを次の関係式、すなわち、
　Ｃ<d>[ab]＝Sp（［Γ[a]，Γ[b]］Γ[d]）／｛ｉSp（Γ[d]Γ[d]）｝，・・・（１）
を使って導きましょう。すると、
　Ｃ<1>[23]＝Ｃ<2>[31]＝Ｃ<3>[12]＝１／２，
　Ｃ<1>[47]＝Ｃ<4>[71]＝Ｃ<7>[14]＝１／４，
　Ｃ<1>[65]＝Ｃ<6>[51]＝Ｃ<5>[16]＝１／４，
　Ｃ<1>[109]＝Ｃ<10>[91]＝Ｃ<9>[110]＝１／４，
　Ｃ<1>[1412]＝Ｃ<14>[121]＝Ｃ<12>[114]＝１／４，
　Ｃ<2>[46]＝Ｃ<4>[62]＝Ｃ<6>[24]＝１／４，
　Ｃ<2>[57]＝Ｃ<5>[72]＝Ｃ<7>[25]＝１／４，
　Ｃ<2>[912]＝Ｃ<9>[122]＝Ｃ<12>[29]＝１／４，
　Ｃ<2>[1410]＝Ｃ<14>[102]＝Ｃ<10>[214]＝１／４，
　Ｃ<3>[45]＝Ｃ<4>[53]＝Ｃ<5>[34]＝１／４，
　Ｃ<3>[76]＝Ｃ<7>[63]＝Ｃ<6>[37]＝１／４，
　Ｃ<3>[1210]＝Ｃ<12>[103]＝Ｃ<10>[312]＝１／４，
　Ｃ<3>[149]＝Ｃ<14>[93]＝Ｃ<9>[314]＝１／４，
　Ｃ<4>[58]＝Ｃ<5>[84]＝Ｃ<8>[45]＝３<1/2>／４，
　Ｃ<4>[119]＝Ｃ<11>[94]＝Ｃ<9>[411]＝１／４，　　・・・（２）
　Ｃ<4>[1413]＝Ｃ<14>[134]＝Ｃ<13>[414]＝１／４，
　Ｃ<5>[913]＝Ｃ<9>[135]＝Ｃ<13>[59]＝１／４，　
　Ｃ<5>[1411]＝Ｃ<14>[115]＝Ｃ<11>[514]＝１／４，
　Ｃ<6>[78]＝Ｃ<7>[86]＝Ｃ<8>[67]＝３<1/2>／４，
　Ｃ<6>[1013]＝Ｃ<10>[136]＝Ｃ<13>[610]＝１／４，
　Ｃ<6>[1112]＝Ｃ<11>[126]＝Ｃ<12>[611]＝１／４，
　Ｃ<7>[1011]＝Ｃ<10>[117]＝Ｃ<11>[710]＝１／４，
　Ｃ<7>[1213]＝Ｃ<12>[137]＝Ｃ<13>[712]＝１／４，
　Ｃ<8>[1012]＝Ｃ<10>[128]＝Ｃ<12>[810]＝１／（４・３<1/2>），
　Ｃ<8>[1311]＝Ｃ<13>[118]＝Ｃ<11>[813]＝１／（２・３<1/2>），
　Ｃ<8>[149]＝Ｃ<14>[98]＝Ｃ<9>[814]＝１／（４・３<1/2>），
　Ｃ<9>[1514]＝Ｃ<15>[149]＝Ｃ<14>[915]＝２<1/2>／（２・３<1/2>），
　Ｃ<10>[1215]＝Ｃ<12>[1510]＝Ｃ<15>[1012]＝２<1/2>／（２・３<1/2>），　
　Ｃ<11>[1315]＝Ｃ<13>[1511]＝Ｃ<15>[1113]＝２<1/2>／（２・３<1/2>）．
　ＳＵ（４）群の代数は実数です。基準点の生成元は線形的に独立し、直交しています（正規化された基準点に対しては正規直交化しています）。「状態空間における内部群（６５－３）」で導いたＳＵ（４）群に関連する基準点においてはカルタン計量は対角状をなし、次のようなほぼ標準型をしています。すなわち、
　g[ab]＝－１６δ[ab]．・・・（３）
　正規化因子Ｎ[Γ]＝１／４は基準点を標準化し、カルタン計量の対角線をg[aa]＝－１に変えています。
　構造定数のテンソルのグループ化によって明らかなように、ＳＵ（４）群にはひじょうに多くの部分代数が存在しています。ＳＵ（４）群の中にＳＵ（２）とＳＵ（３）の部分群が存在することも、やはり「状態空間における内部群（６５－３）」に記述した（１）の生成元の総体から直接知ることが出来ます。

　　●●●●●　今日も一日感謝の心で　●●●●●