「田井塾」：江戸川のほとりにて－祈りの心(34-1)

・・・・・「田井塾」：江戸川のほとりにて－祈りの心（３４－１）－・・・・・

　・・・・・序奏・・・・・
●・・「夢」・・●
　☆ドビュッシー☆

　※２０１９年４月２０日に受理した本書「時空間論」（４４５ページ）の下訳作業を２０２２年６月１１日に終了しました。次の活動ですが、これまでの計画を大幅に見直し、この「えどがわ産業ナビ」の場を利用して「詳説『時空間論』」として再度文章の書き直し（読み直し）作業を行うことにしました。この実験的試みに多くの皆さまが関心をお寄せくださいますよう願っております。（２０２２．６．１４記）

　●●　江戸川のほとりにて：－詳説「時空間論」（３４－１）－●●
　
　３４：マクスウェル方程式（１）

　＜大切な用語＞
　テンソル、接続、相対運動、密度、ゲージ（補正）、ねじれ、マクスウェル方程式、古典的計量、相対的テンソル、相対的ベクトル、密度、計量接続、共変的、エネルギー・運動量テンソル．
　
　「要　約」
　電磁場のテンソルＦ[jk]の性質について考察したい（ただし、このテンソルはゼロと異なり、すでに決定しているものとする）。このテンソルは接続の非積分成分にのみ依存し、また２つの物体が相対運動する時の密度の変化の記述に直接関与している。このテンソルはゲージ的に一定で、古典的計量の補正を変えても性質は変化しない。
　ねじれが存在しない場合、Ｆ[jk]＝Ｆ(-)[jk]の関係が成り立っている。この非対称なテンソルはそれ自体の構造によって下記原文訳中のマクスウェル方程式（１）を満足している。この方程式はつねに成り立っていて、古典的計量を導入出来るか否かには関係していない。
　古典的計量を導入すると、テンソルＦ(-)[jk]は相対的テンソルと同（２）式の関係で結ばれている。また、これらのテンソルは相対的ベクトルと同（３），（４）式の関係がある。
　ここで、密度ɡと接続Γ(-)[j]との間ですでに導かれている関係式、すなわち、∂[j]lnɡ＝Γ(-)[j]と同（４）式を用いることによって、Δ密度ʝ(~)<k>＝ɡＪ(~)<k>＝∂[i]（ɡＦ(-)<ik>）が反対称テンソルのΔ密度の導関数であることが分かる。したがって、密度の通常の発散が同（５）式のように恒等的にゼロに収束し、またこれと共に、計量接続に関して共変的なベクトルＪ(~)<k>の発散も同（６）式のように消滅する。
　なお、これら同（５），（６）型の関係式は古典的計量の近似においては特別な意味を持っている。まず、エネルギー・運動量テンソルの場合のように、これらの関係式から古典的計量がテンソルＦ(-)<ik>の場とベクトルＪ(~)<k>を結び付けているということ。それから、これらの関係式が補正的に不変であり、古典的計量の任意の補正に対しても成り立っているということである。
　
　「本文訳」
　まず、テンソルＦ[jk]をゼロと異なり、すでに決定しているものとしてその性質を考察しましょう。このテンソルは接続の非積分成分にのみ依存し、また「相対運動（２１）」で議論したように、２つの物体が相対運動する時の密度の変化の記述に直接関与しています。このテンソルはゲージ的（補正的）には一定で、つまり、この性質は古典的計量の補正を変えても変化しません。
　ねじれが存在しない場合はＦ[jk]＝Ｆ(-)[jk]が成り立っています。この非対称なテンソルはそれ自体の構造によって次のマクスウェル方程式の第１組を満足しています。すなわち、
　ℰ<ijkl>∇(-)[j]Ｆ(-)[kl]＝ℰ<ijkl>∂[j]Ｆ(-)[kl]＝０．・・・（１）
　これらの方程式はつねに成り立っていて、古典的計量を導入出来るかどうかには関係していません。
　古典的計量の存在によってテンソルＦ(-)[jk]と相対的テンソルと次の関係で結ばれています。すなわち、
　Ｆ(-)<jk>＝ｇ<ji>ｇ<kp>Ｆ(-)[ip]．・・・（２）
　これらのテンソルは相対的ベクトルと次の２式の関係があります。すなわち、
　Ｊ(-)<k>＝∇(-)[i]Ｆ(-)<ik>＝∂[i]Ｆ(-)<ik>＋Γ(-)[i]Ｆ(-)<ik>，　・・・（３）
　Ｊ(~)<k>＝∇(~)[i]Ｆ(-)<ik>＝∂[i]Ｆ(-)<ik>＋Γ(~)[i]Ｆ(-)<ik>．　・・・（４）
　なお、これら２式の間には関係式Ｊ(-)<k>＝Ｊ(~)<k>＋Ａ[i]Ｆ(-)<ik>が成り立っています。
　ここで、「古典的計量を導入する理由（２７－８）」で導いた関係式∂[j]lnɡ＝Γ(-)[j]（ただし、ɡは密度、Γ(-)[j]は接続）と上記（４）式から、Δ密度ʝ(~)<k>＝ɡＪ(~)<k>＝∂[i]（ɡＦ(-)<ik>）が反対称テンソルのΔ密度の導関数であることが分かります。したがって、この密度の通常の発散が次のように恒等的にゼロに収束します。すなわち、
　∂[k]ʝ(~)<k>＝０．　　　・・・（５）
　これと共に、計量接続に関して共変的なベクトルＪ(~)<k>の発散も消滅します。すなわち、
　∇(~)[k]Ｊ(~)<k>＝０．　・・・（６）
　式（５）と（６）の型の関係式は古典的計量の近似においては特別な意味を持っています。エネルギー・運動量テンソルの場合のように、これらの関係式から古典的計量がテンソルＦ(-)<ik>の場と計量座標系に関して保存されているベクトルＪ(~)<k>を結び付けていることが分かります。また、これらの関係式が補正的に不変であり、古典的計量の任意の補正に対しても成り立っています。ただここでは、テンソルＦ(-)<ik>もこれから与えられるベクトルや密度も補正が違えばさまざまであるということに注意しなければなりません。（議論は続きます）

　　・・・・・●●●●●今日も１日感謝の心で●●●●●・・・・・