「田井塾」：江戸川のほとりにて－祈りの心(72-2)

・・・・・「田井塾」：江戸川のほとりにて－祈りの心（７２－２）－・・・・・

　・・・・・序奏・・・・・
●・・「夢」・・●
　☆ドビュッシー☆

　※２０１９年４月２０日に受理した本書「時空間論」（４５０ページ）の下訳作業を２０２２年６月１１日に終了しました。次の活動ですが、これまでの計画を大幅に見直し、この「えどがわ産業ナビ」の場を利用して「詳説『時空間論』」として再度文章の書き直し（読み直し）作業を行うことにしました。この実験的試みに多くの皆さまが関心をお寄せくださいますよう願っております。（２０２２．６．１４記）

　●●　江戸川のほとりにて：－詳説「時空間論」（７２－２）－●●
　
　７２：相互作用の形：重力と電磁気学（２）

　＜大切な用語＞
　状態ベクトル、ノルム、変換、状態空間、群、時空間、点、パラメーター、スカラー変換、ファイバー空間、生成元、接続、係数、共変的添え字、基準点、線形変換、共変ベクトル、たたみ込み、トレース、演算子、古典的近似、ディラックの方程式、部分群、点関数、積分可能成分、位相因子、真のスカラー、作用、静止質量、エネルギー・運動量ベクトル、真の重力、重力場の源、測定法．

　「要　約」
　状態ベクトルのノルムを変える変換であるが、状態空間における変換の観点からすると、ノルムの補正群は時空間の点に依存するパラメーターを持つスカラー変換のように見える。しかし、ファイバー空間の観点からすると異なっている。
　生成元の基準点に関して接続を展開すると、それぞれの生成元の前に４成分係数のように複数の係数が存在するが、これらは１つの共変的添え字を持った４次元の幾何学的対象の成分である。基準点で線形変換すると、これらは複素数の成分を持った共変ベクトルとして変換される。
　すでに議論したように、ファイバー空間と時空間のそれぞれにおける接続は、上と下の添え字に関してたたみ込みを行うと基準点として厳密に一致する。しかも、生成元としてトレースのない行列群を選んだ場合、下記本文訳中の関係式（１）が与えられる。ここで、演算子Ą[j]によって古典的近似の範囲では時空間におけるアフィン接続のたたみ込みΓ[j]が発生しているが、この演算子がディラックの方程式の中に入っている。
　これまで述べた構造の結果、ノルム化した群はノルム化した因子の「係数と位相」の原理にしたがって２つの部分群に分けられる。のみならず、さらに重要なこととして、時空間中の点関数の傾きにおいて、複素数の形をしている積分可能成分をĄ[j]に分離出来ることが上げられる。この関数の位相因子は古典的座標変換のさいは真のスカラーであり、粒子の軌道に時間と共に蓄積される作用に比例している。また、位相因子が積分形であるĄ[j]の傾きの成分によって、事象の形成速度である粒子の静止質量と一致するエネルギー・運動量ベクトルも決定される。
　この意味で、古典的近似で完備接続に分離される計量接続は、Γ[j]（ｘ<i>）＝∂[j]ｆ（ｘ<i>）の関係が成り立つ被積分接続群に属している。したがって、ファイバー空間のノルム化された群の被積分成分は、古典的近似で真の重力を記述している接続と一致している。また、この被積分成分によって、重力場の源である粒子のエネルギー・運動量ベクトルも発生している。これは、私たちによって許容される測定法に対応する古典的接続があらゆる可能な接続の部分群のみを作ることによって、たたみ込みΓ[j]から分離した、粒子の軌道上における補足的な特徴に似ている。

　「本文訳」
　それでは、「完備内的対称性表示とその部分群ＳＵ（４）（１～３）」で記述した状態ベクトルのノルムを変える変換に戻りましょう。状態空間における変換の観点からすると、この群（ノルムの補正群）は時空間の点に依存しているパラメーターを持つスカラー変換のように見えます。しかし、ファイバー空間の観点からするとこれがそうではありません。
　生成元の基準点に関して接続を展開すると、それぞれの生成元の前に、４成分係数のように複数の係数が存在します。これらの係数は１つの共変的添え字を持った４次元の幾何学的対象の成分です。基準点で線形変換すると、これらは複素数の成分を持った共変ベクトルとして変換されます。
　すでに議論したように、ファイバー空間の接続と時空間における接続は、上と下の添え字に関してたたみ込みを行うと、基準点として厳密に一致します。しかも、生成元としてトレースのない行列群を選んだ場合、次の関係式が与えられます。すなわち、
　Sp（Ą[j]）＝ｉｑĄ<a>[j]Sp（Γ[a]）＝ｉｑĄ<0>[j]４＝Ą[j]．・・・（１）
　ここで、演算子Ą[j]によって古典的近似の範囲では時空間におけるアフィン接続のたたみ込みΓ[j]が発生します。実は、この演算子がディラックの方程式の中に入っているのです。
　上に述べた構造の結果、ノルム化した群はノルム化した因子の「係数と位相」の原理にしたがって２つの部分群に分けられます。ただし、これだけではありません。ここにさらに重要なことがあります。それは時空間中の点関数の傾きにおいて、一般に複素数の形をしている積分可能成分をĄ[j]に分離出来るということです。この関数の位相因子は古典的座標変換のさいは真のスカラーであり、またすでに議論したように、粒子の軌道に時間と共に蓄積される作用に比例しています。また、位相因子が積分形であるĄ[j]の傾きの成分によって、事象の形成速度、つまり、粒子の静止質量と一致するエネルギー・運動量ベクトルも決定されます。　
　この意味で、古典的近似で完備接続に分離される計量接続は、完全に被積分接続群に属しています。つまり、Γ[j]（ｘ<i>）＝∂[j]ｆ（ｘ<i>）の関係が成り立つ接続群に属しています。したがって、ファイバー空間のノルム化された群の被積分成分は、古典的近似で真の重力を記述している接続と一致しています（あるいは、接続によって発生しています。これは用語上の問題です）。しかも、この被積分成分によって、重力場の源である粒子のエネルギー・運動量ベクトルも発生しています。これは、私たちによって許容される測定法に対応する古典的接続があらゆる可能な接続の部分群のみを作ることによって、たたみ込みΓ[j]から分離した、粒子の軌道上における補足的な特徴に似ています。このように、ここでは実在世界それ自体の性質ではなく、実在化が許容される測定法の性質によって発生する制限が加えられています。
　
　　・・・・・●●●●●今日も１日感謝の心で●●●●●・・・・・